円$x^2+y^2=4$と直線$y=2x+k$の位置関係を調べよ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ 接するときの接点の座標を求めよ. \\ 円と直線の位置関係}}}} \\\\[.5zh] 円と直線の位置関係の判別には,\ 以下の2つの方法がある.円の中心と直線間の距離$\bm{d}$}}と\textbf{\textcolor{forestgreen}{円の半径$\bm{r}$}}の\textbf{\textcolor{red}{大小関係}}を調べる. \\ \phantom{ $[1]$}\ \ このとき,\ \textbf{\textcolor{purple}{点と直線の距離の公式}}を利用する. \\[1zh] $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{円の方程式と直線の方程式を連立}}し,\ \textbf{\textcolor{red}{判別式で実数解の個数}}を調べる. \{異なる2点で交わる}} & \bm{\textcolor{red}{1点で接する}} & \bm{\textcolor{red}{共有点なし}} (実数解2個) & \bm{\textcolor{red}{D=0}}\ (実数解1個) & \\ (実数解0個) \\ \hline 原点中心半径1の円と点Aを通る傾き(3,-1)の直線との交点をP,Q %原点中心半径1の円とORの交点をF,Gと直線$2x-y+k=0$の距離を$d$とすると $y=2x\pm2\ruizyoukon5$と垂直で,\ 円の中心(原点)を通る直線の方程式は \textcolor{red}{2直線$y=-\bunsuu12x$,\ $y=2x\pm2\ruizyoukon5$の交点}を求めて 多くの場合,\ [1]の方針でいく方が簡潔に済む. \\[.2zh] 特に,\ \bm{接点の座標を求める必要がない場合には[1]が圧倒的に優位}である. \\[1zh] 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 \bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}} \\\\ 結局,\ \bm{絶対値つき方程式・不等式}の問題に帰着する. \\[.2zh] 場合分けをせずとも\bm{瞬殺できる型}である.\ 接点の座標は,\ \bm{接線の接点における法線(垂直な直線)が円の中心を通る}ことを利用して求める. \\[.2zh] 2直線y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\,の垂直条件は m_1m_2=-\,1 \\[.2zh] よって,\ y=2x\pm2\ruizyoukon5\,と垂直な直線の傾きmは,\ 2\cdot m=-\,1よりm=-\bunsuu12\,である. \\[.8zh] 原点を通る傾き-\bunsuu12\,の直線はy=-\bunsuu12x\,で,\ これと接線の交点の座標を求めればよい. 接点の座標(重解)は,\ \maru1にk=\pm\,2\ruizyoukon5\,を代入して解いても求められるが,\ スマートではない. \\[.2zh] 2次方程式\ ax^2+bx+c=0\ の解は x=\bunsuu{-\,b\pm\ruizyoukon{b^2-4ac}}{2a} \\[.5zh] よって,\ D=b^2-4ac=0\ のとき\bm{重解\ x=-\bunsuu{b}{2a}}\,であり,\ これを利用するのがスマートである. \\[.8zh] \maru1においてa=5,\ b=4kなので重解はx=-\bunsuu25k\,であり,\ これにk=\pm\,2\ruizyoukon5\,を代入すればよい. \bm{そもそも( )^2\,の形になるようにkの値を定めたのであるから,\ 瞬時に因数分解できる.}
