線分の通過領域

y=x^2$上に2点P$(t,\ t^2)$,\ Q$(t+1,\ (t+1)^2)$をとる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}$t$が$-\,1\leqq t\leqq0$の範囲を動くとき,\ 線分PQの通過領域を求めよ. \\ 線分の通過領域}}}} \\\\[1zh] 　線分の通過領域の問題は,\ 範囲がある分だけ直線の通過領域の問題より難易度が高くなる. \\[1zh] 　まず,\ \textbf{\textcolor{red}{直線の通過領域を求めた後,\ 図形的な考察により領域を限定する解法}}を示す. \\[.2zh] 　論理がやや甘くなるものの,\ 時間が限られている試験では現実的な手法である. \\\\\\ 　まず,\ \textcolor{red}{$t$の方程式\maru1が$-\,1\leqq t\leqq0$の範囲に実数解をもつような$(x,\ y)$の集合}を求める. \\[1zh] 2つの実数解(重解を含む)をもつ}とき 求める領域は,\ \textbf{下図の斜線部分.\ 境界線を含む. まず,\ 直線\text{PQ}の通過領域を逆像法で求める.\ 別に順像法でもよい. \\[.2zh] 直線の通過領域については前項で詳しく解説したので,\ ここでは簡潔な説明に留める. \\[.2zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式　y-y_1=\bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \\[.8zh] 結局,\ 2次方程式の解の配置問題「-1\leqq t\leqq0の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」となる. \\[1zh] [1]\ \ 解が2個(重解含む)となる条件は,\ \bm{D\geqq0,\ -\,1\leqq 軸\leqq0,\ f(-\,1)\geqq0,\ f(0)\geqq0}\ である. \\[1zh] [2]\ \ 解が1個の条件は,\ 以下のような場合をまとめて\ \bm{f(0)f(1)\leqq0}\ である. \\\\[.5zh] 以上から,\ 直線y=(2t+1)x-t^2-tの通過領域が図の色塗り部分となることがわかる. \\[.2zh] 図の水色の色塗り部分が\,[1],\ ピンクの色塗り部分が\,[2]\,に対応する領域である. \\[1zh] さて,\ 求めるべきは線分\text{PQ}の通過領域であった. \\[.2zh] \bm{線分の両端点\textbf{P,\ Q}の軌跡を境に直線\textbf{PQ}の通過領域を制限すると,\ 線分\textbf{PQ}の通過領域となる.} 数式で厳密に求める}}\,] \\[1zh] 　[4]\ \ $0