座標平面上の図形の変換

実数x,\ yが-1\leqq x\leqq1,\ -\,1\leqq y\leqq1\ を満たしながら動くとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ このとき,\ 点(x+y,\ x-y)\ の動く領域を図示せよ.$ \\\\ \hspace{.5zw}$(2)\ \ 実数x,\ yが\ x^2+y^2\leqq1\ を満たしながら動くとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ このとき,\ 点(x+y,\ xy)\ の動く領域を図示せよ.$ \\ {変換}}ある集合からその集合自身への写像}}を\textbf{\textcolor{blue}{変換}}という. \\[.2zh] 　本問は,\ 座標平面から座標平面への写像であるから,\ 変換の問題である. \\ 　\textbf{\textcolor{blue}{逆像法}}による考え方と解答を示す. \\\\ 　変換前と変換後を同一の平面上で考えようとすると混乱する. \\[.2zh] 　$\textcolor{purple}{(x+y,\ x-y)=(X,\ Y)}$とし, $xy$平面上の点から$XY$平面上の点への変換と考える. \\\\ 　$\textcolor{cyan}{-\,1\leqq x\leqq1,\ -\,1\leqq y\leqq1を満たす点(x,\ y)}$に対応して,\ $\textcolor{magenta}{点(X,\ Y)}が1つ定まる.$ 　逆に,\ \textbf{\textcolor{magenta}{求める領域内の点}}$\bm{\textcolor{magenta}{(X,\ Y)}には,\ 対応する\textcolor{cyan}{逆像(x,\ y)}が存在するはず}である.$ \\[.2zh] 　ここでの逆像$(x,\ y)$とは,\ $-\,1\leqq x\leqq1,\ -\,1\leqq y\leqq1$を満たす実数$(x,\ y)$のことである. \\[1zh] 　この逆像$(x,\ y)$が存在するか否かで$XY$座標平面上の点$(X,\ Y)$を分類していく. \\[.2zh] 　すると,\ 条件を満たす点$(X,\ Y)$の集合,\ つまり点$(x+y,\ xy)$の動く領域が浮かび上がる. \\\\ 　例えば,\ $XY$座標平面上の$\textcolor{magenta}{点(0,\ 2)}は,\ 求める領域内にあるだろうか.$ \\[.2zh] 　$X=x+y=0,\ Y=x-y=2を解くと,\ \textcolor{cyan}{(x,\ y)=(1,\ -\,1)}である.$ \\[.2zh] 　これは,\ $\textcolor{cyan}{-\,1\leqq x\leqq1,\ -\,1\leqq y\leqq1を満たす.}$ \\[.2zh] 　\textcolor{red}{逆像}$\textcolor{red}{(1,\ -\,1)が存在するから,\ 点(0,\ 2)は点(x+y,\ x-y)の動く領域内にある.}$ \\ 　では,\ $XY$座標平面上の$\textcolor{magenta}{点(4,\ 0)}は,\ 求める領域内にあるだろうか.$ \\[.2zh] 　$X=x+y=4,\ Y=x-y=0を解くと,\ \textcolor{cyan}{(x,\ y)=(2,\ 2)}である.$ \\[.2zh] 　これは,\ $\textcolor{cyan}{-\,1\leqq x\leqq1,\ -\,1\leqq y\leqq1を満たさない.}$ \\[.2zh] 　\textcolor{red}{逆像}$\textcolor{red}{が存在しないから,\ 点(4,\ 0)は点(x+y,\ x-y)の動く領域にはない.}$を満たす実数$(x,\ y)$が存在するような$(X,\ Y)$の集合}を求めればよい. \\[1zh] 　\scalebox{.97}[1]{\textbf{\textcolor{red}{$\bm{(X,\ Y)}$の集合が,\ 他の文字$\bm{(x,\ y)}$の実数存在性を追求して求まる}}という構造が重要である.} \\\\ を満たす実数$(x,\ y)$が存在する点$(X,\ Y)$の集合}である. \\[1zh] まず,\ \bm{x,\ yをX,\ Yで表す.}\ \ X,\ Yを定数とみてx,\ yの連立方程式を解けばよい. \\[.2zh] \bm{それを(x,\ y)の条件に代入すると,\ (X,\ Y)が満たすべき条件がわかる.} \\[1zh] 結局,\ \bm{変換(x+y,\ x-y)により,\ 左図の領域内の点が,\ 右図の領域内の点に移る}ことがわかる. \\[.2zh] 変換前後の対応が視覚的にわかるように点をうっておいた. を満たす実数$(x,\ y)$が存在する点$(X,\ Y)$の集合}である. \\[1zh] 求める領域は,\ 右下図の斜線部分.\ 境界線を含む.} \bm{基本対称式の変換(x+y,\ xy)はパターン認識を要する.} \\[.2zh] 最も注意すべきは,\ x^2+y^2\leqq1をY\geqq\bunsuu12X^2-\bunsuu12としただけで終えてはならないことである. \\[1zh] (1)の変換は,\ (X,\ Y)に対応する実数(x,\ y)が常に存在していた. \\[.2zh] 実際,\ x=\bunsuu{X+Y}{2},\ \ y=\bunsuu{X-Y}{2}\,より,\ どんなX,\ Yに対しても必ず実数(x,\ y)が求まる. \\[1zh] 一方,\ (2)の変換では\bm{X=x+y,\ Y=xyに対応する実数(x,\ y)が常に存在するとは限らない.} \\[.2zh] よって,\ 対応する実数(x,\ y)が存在するような(X,\ Y)の条件を求める必要が生じる. \\[1zh] \bm{基本対称式をなす2数の実数存在条件は,\ 2次方程式を作成して判別式で求める}のであった. \\[.2zh] x,\ yを解にもつ2次方程式の1つは(t-x)(t-y)=0,\ つまり\bm{t^2-(x+y)t+xy=0}である. \\[1zh] 例えば,\ (x+y,\ xy)=(2,\ -\,3)とすると,\ x,\ yはt^2-2t-3=0の2解である. \\[.2zh] t=-\,1,\ 3より,\ (x,\ y)=(-\,1,\ 3),\ (3,\ -\,1)が存在する.\\[1zh] 次に,\ (x+y,\ xy)=(1,\ 1)とすると,\ x,\ yはt^2-t+1=0の2解である. \\[.2zh] D=(-\,1)^2-4\cdot1\cdot1=-\,3<0より,\ この方程式には実数解が存在しない. \\[.2zh] つまり,\ (x+y,\ xy)=(1,\ 1)となるような実数x,\ yは存在しない. \\[1zh] \bm{実数x,\ yが存在するための条件として,\ t^2-Xt+Y=0のD\geqq0が必要になる}わけである. \\[1zh] 本問に限らず,\ 実数x,\ yに対してx+y=s,\ xy=tと置換する際には常に条件s^2-4t\geqq0がつく. \\[.2zh] 基本対称式の変換(置換)をパターン認識しておかなければ,\ この隠れた条件を見落としてしまう. \\[1zh] 結局,\ \bm{変換(x+y,\ xy)により,\ 左図の領域内の点が,\ 右図の領域内の点に移る}ことがわかる. \\[.2zh] 変換前後の点の対応を線で示したが,\ (1)とは異なり単純ではない. \\[.2zh] また,\ すべての点が1対1で対応するわけではないことにも注意が必要である. \\[.2zh] 例えば,\ 点(x,\ y)=(1,\ 0),\ (0,\ 1)は,\ いずれも点(x+y,\ xy)=(1,\ 0)に移る. \\[.2zh] (1)では最悪点をとりまくれば答えだけは予想できたが,\ (2)では無理だろう.