座標平面上の図形の変換

(2)は通称「閻魔の唇問題」と呼ばれており、1950年代に東大が出題してから有名になったとか。

transformation
ある集合からその集合自身への写像}を変換という.  本問は,\ 座標平面から座標平面への写像であるから,\ 変換の問題である.  $-1 x1,\ -1 y1を満たす点(x,\ y)}を1つ決める.$  すると,\ $それに対応する点(x+y,\ x-y)}が1つ定まる.$  例えば,\ $(x,\ y)=(0,\ 1)}に対応する点は,\ (x+y,\ x-y)=(1,\ -1)}である.$  これを逆に考える.  点${(x+y,\ x-y)}には,\ 対応する逆像(x,\ y)}が存在しているはずである.}$  例えば,\ $点(0,\ 2)}は,\ (x+y,\ x-y)の動く領域内にあるだろうか.$  $x+y=0,\ x-y=2を解くと,\ (x,\ y)=(1,\ -1)}である.$  これは,\ $条件\ -1 x1,\ -1 y1を満たす.}$  0.96}{逆像}$(1,\ -1)が存在するから,\ 点(0,\ 2)は(x+y,\ x-y)の動く領域内にある.}$}  では,\ $点(4,\ 0)}は,\ (x+y,\ x-y)の動く領域内にあるだろうか.$  $x+y=4,\ x-y=0を解くと,\ (x,\ y)=(2,\ 2)}である.$  これは,\ $条件\ -1 x1,\ -1 y1を満たさない.}$  逆像}$が存在しないから,\ 点(4,\ 0)は,\ (x+y,\ x-y)の動く領域にはない.}$  座標平面上の点は無限にあるから,\ 一般化し,\ 点を$(X,\ Y)$として考える.  ${(X,\ Y)の逆像(x,\ y)が存在するよう(X,\ Y)の集合を定めればよい.$ $ {求める領域は,\ 右下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} まず,\ {x,\ yをX,\ Yで表す.} {それを元のx,\ yの条件に代入して消去すると,\ X,\ Yが満たすべき条件がわかる.} x,\ yが満たすべき条件とx,\ yとX,\ Yの関係が既知である. この状況で,\ 未知のX,\ Yが満たすべき条件を求めたい. そこで,\ x,\ yについて解いた関係式を,\ 既知のx,\ yの条件に代入して求めるのだ. 結局,\ {この変換で,\ 左図の領域内の点が,\ 右図の領域内の点に移る}ことがわかる. {「X,\ Yの条件が,\ 残りの文字x,\ yの存在を追求して求まる」}という構造を確認.  \ $x+y=X,\ xy=Y}\ とおく.$ { }\ ここで,\ $x,\ y}\ は,\ t²-X}t+Y}=0\ の2つの解である.$ \ が実数であるための条件は $ {求める領域は,\ 右下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} {写像が基本対称式である(x,\ y)→(x+y,\ xy)の変換はパターン認識を要する.} x²+y²1をX,\ Yで表して,\ Y12X²-12としただけで終わってはいけない. 実は,\ この変換は,\ {(x,\ y)に制限がなくても,\ 自動的に(X,\ Y)が制限される.} 例えば,\ (X,\ Y)=(2,\ -3)の逆像(x,\ y)は存在するだろうか. x+y=2,\ xy=-3より,\ x,\ yは,\ t²-2t-3=0の2つの解である. よって,\ t=-1,\ 3となり,\ 逆像(-1,\ 3),\ (3,\ -1)が存在する. 逆像が存在するから,\ (2,\ -3)は(x+y,\ xy)が動く領域内にあるといえる. では,\ (X,\ Y)=(1,\ 1)の逆像(x,\ y)は存在するだろうか. より,\ 実数解が存在しない. つまり,\ 逆像が存在せず,\ (1,\ 1)は,\ (x+y,\ xy)が動く領域内にはないといえる. (x,\ y)→(x+y,\ x-y)の変換では,\ (X,\ Y)に対応する(x,\ y)は必ず存在した. x={X+Y}{2},\ y={X-Y}{2}\ より,\ (X,\ Y)から(x,\ y)が求まるからである. しかし,\ (x,\ y)→(x+y,\ xy)の変換の場合は,\ 同様にはいかない. 上の例のように,\ (X,\ Y)に対応する(x,\ y)が存在しない場合があるのである. では,\ {(x,\ y)が存在するような(X,\ Y)の条件はどのように求まるだろうか.} {x+y=X,\ xy=Yであるとき,\ x,\ yを解にもつ2次方程式を作成できる.} そして,\ {実数解条件(判別式)}により求めることになる. {置換(x+y,\ xy)=(p,\ q)を行うとき,\ 常にこの隠れた条件に注意しよう.} これは本問のような座標変換に限らず,\ 一般的にいえる話である. パターン認識がなければ,\ この隠れた条件を見落としてしまうのである. 結局,\ この変換で,\ 左図の領域内の点から右図の領域内の点に移ることがわかる.  これは,\ 図形的には,\ $y=x²\ を\ (a,\ b)$平行移動したことを意味する.  実は,\ 平行・対称・回転移動なども座標変換の1つなのである.  こう考えると,\ 座標平面上のあらゆる変換や移動を統一的に理解できる.  そして,\ 「逆に解いて元の条件に代入」という求め方も全く同じなのである.  $x方向に+a平行移動の際,\ xにx-aを代入するのも当然だと思える?$
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