$-\,1\leqq x\leqq2\ のとき,\ y=2x-3\ の値域を求めよ.$ \\ 順像法と逆像法}}}} \\\\ とりあえず,\ 中学生的に求めてみる. \\[.2zh] $y=2x-3$は傾きが正の直線で, この問題と解答を\textbf{\textcolor{purple}{集合の観点でとらえ直す.}} \\[1zh] まず,\ $xについての集合\ \textcolor{cyan}{A=\{x\,|\,-1\leqq x\leqq2\}}\ がある.$ \\[.2zh] 集合$Aと\textcolor[named]{ForestGreen}{互いの関係がy=2x-3}である\textcolor{magenta}{yについての集合B}$を求める問題である. \\[1zh] 例えば,\ $\textcolor{cyan}{Aの1つの要素x=2}に\textcolor[named]{ForestGreen}{対応}する\textcolor{magenta}{Bの要素はy=1}である.$ \\[.2zh] これを,\ $\bm{「\textcolor{cyan}{\,元x=2\,}による\textcolor[named]{ForestGreen}{\,写像y=2x-3\,}の\textcolor{magenta}{\,像(順像)はy=1\,}である」}という.$ \\[.2zh] $\bm{\textcolor{red}{Aの全ての元に対応する像全体の集合が,\ B=\{y\,|\,-5\leqq y\leqq1\}}}$というわけである. \\\\ 上では,\ 集合$A$の要素からそれに対応する集合$B$の要素を考えて値域を求めた. \\[.2zh] このような考えで集合$B$を求める方法を\textbf{\textcolor{blue}{順像法}}という. \\[.2zh] 別に目新しい手法というわけではなく,\ 今までの手法が実は順像法だっただけである. \\[1zh] 本項では,\ \textbf{\textcolor{blue}{逆像法}}という新しい考え方を紹介する. \\[.2zh] 実は,\ 一部の問題で知らぬ間に利用してきていたのだが,\ 改めてその本質を学習する. \\\\ 逆像法の核心が次である. \\[.2zh] $\bm{\textcolor{red}{Aの要素があってはじめて,\ それに対応するBの要素が存在できる.}}$ \\[.2zh] 逆にいえば,\ $\bm{\textcolor{red}{Bの要素には必ず対応するAの要素が存在するはず}}である.$ \\[1zh] 例えば,\ $\textcolor{magenta}{Bの要素y=-\,5}には,\ \textcolor{cyan}{Aの要素x=-\,1}が\textcolor[named]{ForestGreen}{対応}している.$ \\[.2zh] これを,\ $\bm{「\textcolor{magenta}{像y=-\,5}\,の\,\textcolor{blue}{逆像}\,は\,\textcolor{cyan}{x=-\,1}である」}という.$ \\[.2zh] この$\bm{\textcolor{purple}{逆像を利用して,\ 集合Bを求めることができる.}}$ \\[1zh] まず,\ $\bm{yの値を1つ決める.}$ \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{逆像}}$\bm{\textcolor{red}{xが存在するならば,\ そのyは集合Bの要素といえる.}}$ \\[1zh] 例えば,\ $\textcolor{magenta}{y=-\,1}とする.\ このときy=2x-3より,\ x=1$である. \\[.2zh] $\textcolor{cyan}{x=1は-1\leqq x\leqq2を満たすから,\ 集合Aの要素である.}$ \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{逆像}}$\bm{\textcolor{red}{x=1が存在するから,\ y=-\,1は集合Bの要素である.}}$ \\[1zh] $\textcolor{cyan}{x=3は-1\leqq x\leqq2を満たさないから,\ 集合Aの要素ではない.}$ \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{逆像}}$\bm{\textcolor{red}{が存在しないから,\ y=3は集合Bの要素ではない.}}$ このように,\ $\bm{\textcolor{red}{逆像が存在するか否かでyを分類していけば,\ 集合Bがわかる}}のである.$ \\[.2zh] しかし,\ $実数yは無限にあるので,\ 1つずつ確認するわけにはいかない.$ \\[.2zh] そこで,\ 実数$y$の値を文字$k$でおき,\ 一般化して考えることになる. \\[.2zh] $\bm{\textcolor{red}{逆像xが存在するようなkの範囲を求めれば,\ それが値域}}といえる.$ \\[1zh] $k$に対応する逆像$x$が存在すれば,\ その$k$は集合$B$の要素である. \\[.2zh] $y=k$のとき,\ $y=2x-3$より$x=\bunsuu{k+3}{2}$である. \\[.2zh] この$x$が$ -\,1\leqq\bunsuu{k+3}{2}\leqq2$,\ つまり\textcolor{red}{$-\,5\leqq k\leqq1$を満たすとき,\ 逆像$x$が存在する.} \\[.2zh] これは,\ $\textcolor{red}{集合B\,(値域)が-5\leqq y\leqq1}$であるということに他ならない. \\\\ \textcolor{blue}{逆像法}による解答を改めて以下に示す. \\[1zh] $\textcolor{red}{y=2x-3を満たすxが-1\leqq x\leqq2に存在するようなyの範囲を求める.}$ \\[.5zh] 先に述べたようにy=kとおいてもよいが,\ 最終的にはkをyにして答えることになる. \\[.2zh] であるならば,\ 最初からyのままで計算すれば済む. \\[.2zh] \bm{yの範囲が,\ もう一方の文字xの存在を追求して求まる}という構造が重要である. 本問に限っては,\ 逆像法の必要性や有り難みは感じられない. \\[.2zh] \textbf{真に重要なのは,\ \textcolor{red}{「2つの集合の間の対応関係」が根幹を成す点}}である. \\[.2zh] この視点で,\ \textbf{\textcolor{blue}{値域・軌跡・通過領域・変換の各問題を統一的に理解できる.}} \\[.2zh] 次項以降の具体的な問題で,\ これらが実質的に同じ問題であることを認識してほしい.
