順像法と逆像法の違い

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まず,\ 普通に求めてみる.  傾きが正の直線で,\  この方法を集合という観点から見直す.  まず,\ $xについての集合\ A=[x]{-1 x2\ がある.$  集合$Aと互いの関係がy=2x-3}であるyについての集合B}を求める.$  例えば,\ $Aの1つの要素x=2}に対応}するBの要素はy=1}である.$  これを,\ ${「元x=2}による写像y=2x-3}の像はy=1}」}という.$  .98}{${Aの全ての元に対応する像全体の集合が,\ B=\[y]{-5 y1}\ なのだ.$}  上では,\ $普通に集合Aの要素からそれに対応する集合Bの要素を求めた.$  この手順で求める方法を順像法(自然流)という.  さて,\ $これを逆に考えようというのが{逆像法(逆手流)である.$  このときの決定的なポイントが次である.  ${Aの要素があってはじめて,\ それに対応するBの要素ができる.$  逆に言えば,\ ${Bの要素には必ず対応するAの要素が存在するはずである.$  例えば,\ $Bの要素y=-5}には,\ Aの要素x=-1}が対応}している.$  これを,\ ${「像y=-5}の逆像}はx=-1}である」}という.$  この${逆像を利用して,\ 集合Bを求める.$  まず,\ ${yの値を1つ決める.}$  その逆像${xが存在しているならば,\ そのyは集合Bの要素といえる.$  例えば,\ $y=-1}とする.\ このとき,\ y=2x-3より,\ x=1}$  $x=1は,\ -1 x2を満たすから,\ 集合Aの要素である.}$  逆像${x=1が存在しているから,\ y=-1は集合Bの要素である.$  次に,\ $y=3}とする.\ このとき,\ y=2x-3より,\ x=3}$  $x=3は,\ -1 x2を満たさないから,\ 集合Aの要素ではない.}$  逆像${が存在しないから,\ y=3は集合Bの要素とはいえない.$  結局,\ ${逆像が存在するか否かでyを分類していけば,\ 集合Bがわかるのだ.$  しかし,\ $実数は無限にあるので,\ 1つずつ確認するわけにはいかない.$  そこで,\ $yの値を一般化して文字kとおく.$  そして,\ ${y=kのときに逆像xが存在するようにkの範囲を定める.$  具体的には,\ $k=2x-3を満たすxが,\ -1 x2を満たすようにする.$  $x={k+3}{2}\ として,\ -1{k+3}{2}2\ より,\ -5 k1$\ である.  よって,\ $kが-5 k1を満たすとき,\ 対応する逆像xが存在する.}$  これは,\ $値域(集合B)が-5 y1であることを意味している}のである.$    逆像法}による実際の解答を次に示す.  $y=2x-3を満たすxが-1 x2に存在するようなyの範囲を求める.}$ 先に述べたように,\ y=kとおいてもよいが,\ 当然最後はyで答えることになる. よって,\ 実際にはyのままで計算していけばよい. 結局,\ {yの範囲が,\ もう一方の文字xの存在を追求して求まるのである.}  本問に限っては,\ 逆像法の必要性や有り難みは感じられない.  真に重要なのは,\ 「2つの集合の間の対応関係」が根幹を成す点である.  この視点で,\ 値域・軌跡・通過領域・変換という問題を統一的に理解できる.  具体的な問題で,\ これらが実質的に同じ問題であることを感じて欲しい.
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