実数$x,\ y$が$x^2-2xy+2y^2=1$を満たすとき,\ 次を求めよ.
(1)\ \ $x$のとりうる値の範囲 (2)\ \ $2x+y$の最大値と最小値 \\
等式条件つき2変数関数の最大・最小yの方程式①が実数解をもつようなxの値の範囲}を求めればよい.$
等式をxについての2次方程式x^2-2yx+2y^2-1=0とみなす.
すると,\ 実数解xのとりうる値の範囲を求めることになり,\ 結局前項と同じ問題であるとわかる.
実数解xのとりうる値の範囲は,\ もう一方の文字yの実数存在性を追求する}と求まるのであった.
xの方程式②が実数解をもつようなkの値の範囲}を求めればよい.
わかりやすくするために,\ =kとおく.
2x+yの最大値・最小値を求めることは,\ kのとりうる値の範囲を求めることに等しい.
x^2-2xy+2y^2=1を満たす実数(x,\ y)に対応して2x+y=kの値が定まる.
逆にいえば,\ 求める範囲内のkには,\ 対応する逆像(x,\ y)が存在しているはず}である.
ここでの逆像(x,\ y)とは,\ x^2-2xy+2y^2=1を満たす実数(x,\ y)のことである.
このような実数(x,\ y)が存在するか否かでkを分類していけば,\ 自ずとkの範囲が浮かび上がる.
例えば,\ k=3はkのとりうる値の範囲に含まれるだろうか.
k=3のとき,\ 2x+y=3,\ x^2-2xy+2y^2=1を連立すると(x,\ y)=(1,\ 1),\ 17}{13},\ 5}{13}となる.
この(x,\ y)のときk=3となるのであるから,\ k=3はkのとりうる値の範囲に含まれる.
では,\ k=4をとりうるだろうか.
k=4のとき,\ 2x+y=4,\ x^2-2xy+2y^2=1からyを消去すると13x^2-40x+31=0となる.
D/4=20^2-13･31=-\,3<0より,\ このxの2次方程式は実数解をもたない.
よって,\ x^2-2xy+2y^2=1を満たすどのような実数(x,\ y)に対しても,\ k=4となることはない.
結局,\,
x^2-2xy+2y^2=1
2x+y=k
-1.2zw}を満たす実数(x,\ y)が存在するようなkの値の範囲を求めればよい.} [-1zh]
実際には,\ 2式からyを消去した②の実数解が存在するようなkの値の範囲を求めれば済む.
実数xさえ存在すれば,\ y=-\,2x+kより実数yの存在も保証されるからである.
kの範囲が,\ 残りの文字(x,\ y)の実数存在性を追求して求まる}という構造が重要である.
図形的には,\
x^2-2xy+2y^2=1
2x+y=k
-1.2zw}が共有点をもつようなkの値の範囲を求める}ことを意味する. [-.8zh]
本問の場合は厳しいが,\ 容易に図示できる場合には図形的な考察も有効である.
実は,\ 数III}の知識があればx^2-2xy+2y^2=1を図示でき,\ 下図のような斜め楕円となる.
また,\ y=-\,2x+kは,\ 傾き-2\,(一定),\ y切片kの直線である.
y切片kが最大・最小となるのは,\ 斜め楕円と直線y=-\,2x+kが接するとき}である.
楕円と直線が接する条件なので,\ 結局は本解と同様に連立してD=0を計算することになる.
