軌跡(2直線の交点の軌跡)

locus

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mの変化に対して交点の位置がどのように変化するかを確認してください。
変化の割合は一定ではなく、mが大きくまたは小さくなるほど遅くなります。
mが大きくまたは小さくなると(0,-2)に限りなく近づきますが、(0,-2)となることはありません。

座標平面上の図形は,\ 「方程式・不等式を満たす点の集合」である.  交点の軌跡}は,\ 「2つの方程式を両方とも満たす点の集合}」}である.  実数$m$}を1つ決めると,\ それに対応する交点}が1つ定まる.  逆に考えると,\ ${1つの交点}には,\ 対応する逆像m}が存在しているはずである.}$  例えば,\ 座標平面上の点$(2,\ -2)}は,\ 交点の軌跡上にあるだろうか.$  あるならば,\ 2つの方程式を両方とも満たすはずである.  代入すると,\ $2m+2=0\ , 2-2m=-2m+2\ $となる.  $よりm=-1}で,\ このときも満たされる.$  これは,\ $m=-1}のとき,\ (2,\ -2)}が交点となることを意味する.$  図形的には,\ $(2,\ -2)が交点の軌跡上にある}ことが確定する.$  では,\ 座標平面上の点$(1,\ 1)}は,\ 交点の軌跡上にあるだろうか.$  よって,\ 両方を満たす}$mは存在しないため,\ (1,\ 1)は交点にはなり得ない.}$  さて,\ 座標平面上の点は無限にあるから,\ 一般化して,\ 点を$(X,\ Y)$とおく.  .98}{${(X,\ Y)に対応する逆像mが存在するよう(X,\ Y)の集合を定めればよい.$}  $2直線の交点を(X,\ Y)}とおく より {中心(1,\ -1),\ 半径\ 2\ の円.\ 点(0,\ -2)を除く.}$} (x,\ y)のまま計算してもよいが,\ わかりやすくするために(X,\ Y)として計算する. 結果的に言えば,\ {媒介変数mを消去}すればよい.\ 理由は後述. をmについてとくと,\ Xが分母にくるので,\ あらかじめX=0の場合を分ける. まずからY=0がわかり,\ さらにからm=1となる. {実数mが存在するから,\ (X,\ Y)=(0,\ 0)は交点の軌跡上にある.} X0のとき,\ とからmを消去すると円の方程式となる. ただし,\ X0なので,\ X=0のときの点(0,\ 0),\ (0,\ -2)は除く必要がある. 最終的な解は,\ とをまとめるるから,\ 結局点(0,\ -2)だけが除外点となる. さて,\ {なぜmを消去すると交点の軌跡が求まるのだろうか.} {連立方程式の同値変形}という観点からその理由を探ろう.\ 以下,\ X0とする.  を満たすmが存在する.    最後,\ {同値変形を行うとき,\ 代入した式も残しておかなければならない}点に注意. それがなければ,\ 逆に戻ることができなくなるからである. 普段ほとんど意識していないが,\ これが連立方程式解くときの原理である. ややそれた話を戻し,\ ここでについて考えてみよう. を満たす(X,\ Y)からmが求まるわけだが,\ 本問ではこの条件は必要だろうか. つまり,\ mが存在しない(X,\ Y)があるだろうか. の式を考えれば,\ {(X,\ Y)が何であれ,\ 対応するmが自動的に存在する.} 言い換えれば,\ {mの存在条件によって(X,\ Y)が何の制限も受けない.} よって,\ {の条件はなくてもよいのであり,\ 結果,\ のみとなる}のである. 本問ではmがすべての実数だったのでこれで完了である. しかし,\ 例えば,\ 条件がどの場合は,\ X,\ Yの範囲を調べることになる. また,\ X=0のとき,\ m=1とな満たすから,\ 原点(0,\ 0)も含む. 本問は,\ {数直線mの集合と座標平面上の点(x,\ y)の集合の対応}である. {「xとyの条件が,\ 残りの文字mの存在を追求して求まる」}という構造を要確認.
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