2直線の交点の軌跡

mがすべての実数をとるとき,\ 2直線\ mx-y=0\ と\ x+my=-\,2m+2$の交点の軌跡 \\[.2zh] \hspace{.5zw}$を求め,\ 図示せよ.$ \\ 2直線の交点の軌跡}}}軌跡を含む座標平面上のすべての図形は,\ 「方程式・不等式を満たす点の集合」}}である. \\[.2zh] 　よって,\ \textbf{「\textcolor{red}{\,2つの方程式を両方とも満たす点の集合}」}を求めると,\ それが\textbf{\textcolor{blue}{交点の軌跡}}である. \\[1zh] 　そのような点の集合を求めるには,\ \textbf{\textcolor{blue}{逆像法}}の考え方が必要になる. \\[1zh] 　\textcolor{cyan}{実数$m$}に対応して2直線が定まり,\ \textcolor{magenta}{交点$(x,\ y)$}も1つ定まる. \\[.2zh] 　逆にいえば,\ $\bm{\textcolor{magenta}{交点の軌跡上の点(x,\ y)}には,\ 対応する\textcolor{cyan}{逆像m}が存在しているはず}である.$ \\[.2zh] 　ここでの逆像$m$とはを満たす実数$m$のことである. \\[.5zh] 　このような実数$m$が存在するか否かで座標平面上の点$(x,\ y)$を分類していく. \\[.2zh] 　すると,\ 自ずと交点$(x,\ y)$の集合が浮かび上がる. \\\\ 　例えば,\ 座標平面上の点$\textcolor{magenta}{(2,\ -\,2)}は,\ 交点の軌跡上にあるだろうか.$ \\[.2zh] 　つまり,\ $\textcolor{red}{(2,\ -\,2)は交点の軌跡上の点である}といえる.$ \\\\ 　では,\ 座標平面上の点$\textcolor{magenta}{(1,\ 1)}は,\ 交点の軌跡上にあるだろうか.$ \\[.2zh] 両方を同時に満たすmは存在しない.}$ \\[.3zh] 　よって,\ どのような実数$m$に対しても,\ (1,\ 1)が交点になることはない. \\[.2zh] 　つまり,\ \textcolor{red}{(1,\ 1)は交点の軌跡上の点ではない.} \\\\ を満たす実数$m$が存在するような$(x,\ y)$の集合}を求めればよい.} \\\\ 　\textbf{\textcolor{red}{$\bm{(x,\ y)}$の条件が,\ 残りの文字$\bm{m}$の実数存在性を追求して求まる}}という構造が重要である. \\\\ 　$2直線の交点を(X,\ Y)とおく.$ \\[.5zh] 　求める軌跡は,\ \textcolor{red}{以下の2式を同時に満たす実数$m$が存在するような$(X,\ Y)$の集合}である. \\[ 直線の方程式の(x,\ y)と区別するため,\ 交点の座標を(X,\ Y)として求めた. \\[.2zh] 自身が混乱しないのであれば,\ (x,\ y)のままで求めても同じことである. \\[1zh] \maru1をmについて解こうとするとXが分母にくるので,\ X=0の場合を分けて考える. \\[.2zh] X\neqq0のとき,\ 実数mの存在条件を求めることは,\ 結局は\bm{mを消去する}ことである. \\[.2zh] mを代入した直後に分母のXを単純にはらってもよいのは,\ X\neqq0だからであることに注意する. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{\bunsuu AB=C\ \Longleftrightarrow\ A=BC\ かつ\ B\neqq0}\ である.　(B\neqq0がなければ \Longleftarrow が成り立たない) \\[.8zh] B\neqq0という前提のもとでは,\ \bunsuu AB=C\ \Longleftrightarrow\ A=BC\ が成立する. \\\\ こうして円の方程式が得られるが,\ \bm{X=0のとき(y軸上)の2点を除く}必要がある. \\[.2zh] 最終的に[1]と[2]をまとめると,\ (0,\ -\,2)のみが除外点となる. \\\\ より理解を深めるため,\ \bm{条件が加わった場合の交点の軌跡}も求めてみる. \\[1zh] 　X=0のときのm=1はを満たすから,\ 原点(0,\ 0)を含む. \\[.5zh] 　X\neqq0のとき,\ 同値記号を用いて記述すると以下のようになる. \\[1zh] を満たす実数mが存在する.を満たす実数mが存在する. \\\\[-.5zh] 　 両辺にX^2\,(常に)を掛けて同値変形すると,\ XY>0となる. \\[1zh] 　求める軌跡は,\ \bm{円(x-1)^2+(y+1)^2=2の第1象限と第3象限の部分(原点含む)}である. \\[-23zh] \maru1と\maru2を普通に連立して交点を求めると　X=\bunsuu{2-2m}{m^2+1},\ \ Y=\bunsuu{2m-2m^2}{m^2+1}\ \ \cdots\cdots\,\maru3 \\[1zh] これは\bm{媒介変数型の軌跡}であり,\ 当然\maru3からmを消去して交点の軌跡を求めることもできる. \\[.2zh] ただ,\ \maru3に変形してからmを消去するくらいなら,\ \bm{\maru1と\maru2から直接mを消去すれば済む.} {図形的解法}線分OAを直径とする円上}にある.2点O,\ Aも求める軌跡上の点}である. \\[1zh] 　　一方,\ どのような実数$m$に対しても,\ \maru1は$y$軸,\ \maru2は直線$y=-\,2$を表せない. \\[.2zh] 　　よって,\ $y$軸と直線$y=-\,2$の交点である\textcolor{red}{(0,\ $-\,2$)は求める軌跡に含まれない.} \\\\ 2直線が定点を通ることと直交することに気付くと,\ 図形的に軌跡を求められる. \\[.2zh] よくあるパターンなので,\ 多少の経験があれば気付くことは難しくない. \\[.2zh] 数\text{I\hspace{-.1em}I}の範囲で問題作成するには,\ 必然的に型にはまった問題設定にならざるを得ないのである. \\[1zh] mで整理すると,\ \bm{直線が通る定点}を求められる. \\[.2zh] x-2+m(y+2)=0がmについての恒等式となる条件は　x-2=0\ \ かつ\ \ y+2=0 \\[1zh] 2直線a_1x+b_1y+c=0,\ a_2x+b_2y+c=0の垂直条件　\bm{a_1a_2+b_1b_2=0} \\[1zh] \bm{2定点から見込む角が90\Deg である点の軌跡は,\ 2定点を直径とする円上(2定点は除く)にある.} \\[.2zh] あくまでも「軌跡は円上にある」であり,\ 「軌跡は円である」とはいえないことに注意する. \\[.2zh] \bm{円上の点のうち,\ 対応する実数mが存在する部分のみが求める軌跡}である. \\[1zh] まず,\ 2定点が軌跡に含まれるか否かを実際にmの値を求めて判断する. \\[.2zh] さらに,\ \bm{2直線が通らない点があるので,\ これを除外する}必要がある. \\[.2zh] mx-y=0は,\ x=0かつy\neqq0のとき成り立たない.\ つまり,\ 直線x=0を表すことはできない. \\[.2zh] わかりにくいならば,\ y=mxと変形して考えればよい. \\[.2zh] 傾きmをどのように変化させても直線x=0を表すことはできない. \\[.2zh] x-2+m(y+2)=0についても同様である. \\[1zh] 図形的解法は基本的には簡潔に済むが,\ 除外点の有無を慎重に考察する必要がある. \\[.2zh] また,\ m>0のように条件が複雑になると対応がより難しくなる.