実数解のとりうる値の範囲

a$を実数定数とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}　(1)\ \ $x^2-2ax+2a^2-4=0$の実数解$x$のとりうる値の範囲を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}　(2)\ \ $0\leqq a\leqq2\ のとき,\ x^2-2ax+2a^2-4=0$の実数解$x$のとりうる値の範囲を \\[.2zh] {実数解のとりうる値の範囲}}}} \\\\[1zh] 　(1)\ \ $a$で整理すると$a$の方程式\maru1が実数解をもつような$x$の値の集合}を求めればよい. \の知識を用いてグラフを元に求めることもできる(順像法). \\[.2zh] しかし,\ 相当に面倒である.\ 逆像法を用いると簡潔に済む. \\[1zh] 実数aの値に対応してxの値が定まる. \\[.2zh] 逆にいえば,\ \bm{とりうる値の範囲内のxには,\ 必ず対応する逆像aが存在しているはず}である. \\[.2zh] よって,\ 逆像aが存在するか否かでxを分類していけば,\ 自ずとxの範囲が浮かび上がる. \\[1zh] 例えば,\ x^2-2ax+2a^2-4=0はx=2を解にもつだろうか. \\[.2zh] x=2のとき2a^2-4a=0となり,\ 実数a=0,\ 2が存在する. \\[.2zh] a=0,\ 2のとき,\ x^2-2ax+2a^2-4=0はx=2を解にもつとわかる. \\[1zh] では,\ x^2-2ax+2a^2-4=0はx=4を解にもつだろうか. \\[.2zh] x=4のとき2a^2-8a+12=0となるが,\ このaの2次方程式は実数解をもたない. \\[.2zh] つまり,\ どのような実数aに対しても,\ x^2-2ax+2a^2-4=0がx=4を解にもつことはない. \\[1zh] 結局,\ \bm{実数aが存在するようなxの値の範囲を求める}ことになる. \\[1zh] \bm{xの範囲が,\ もう一方の文字aの実数存在性を追求して求まる}という構造が重要である. の範囲に実数解をもつようなxの値の集合}を求めればよい.$異なる2個の実数解(重解を含む)をもつ}とき$ \ 範囲に制限がかかると解の存在範囲(配置)問題となり, 単純にD\geqq0では済まなくなる. \\[.2zh] しかも,\ \bm{「少なくとも1つの実数解をもつ」という最も厄介なタイプの解の存在範囲問題}となる. \\[1zh] 条件「少なくとも1つの実数解」は,\ 「2個(重解含む)」と「1個」に分けて考えるのが基本であった. \\[1zh] [1]\ \ 2個(重解含む)となる条件は,\ \bm{D\geqq0,\ 0\leqq 軸\leqq2,\ f(0)\geqq0,\ f(2)\geqq0}である(下左図). \\[1zh] [2]\ \ 00)で割ると　(x-2)(x+2)\leqq0 \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ x\neqq2より\ \ -2\leqq x<2　　　※\ (x-2)^2\,は正なので,\ 不等号の向きが変わらない. x=a\pm\ruizyoukon{4-a^2}\,をax平面に図示すると以下の斜め楕円となる. \\[.2zh] aに範囲がなければ-2\ruizyoukon2\leqq x\leqq2\ruizyoukon2,\ \ 0\leqq a\leqq2ならば-2\leqq x\leqq2\ruizyoukon2\ が一目でわかる. \\[1zh]