図形の通過領域(直線の通過領域)

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「方程式が少なくとも1つの実数解をもつ条件」は以下で確認。

transit-area

以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダーを動かしてみてください。自動再生もできます。

実数}$t}を1つ決めると,\ それに対応する直線}が1本定まる.$  例えば,\ $t=1}のとき,\ 直線y=2x-1}\ となる.$  つまり,\ $y=2x-1を満たす全ての点(x,\ y)を通過する}ことが確定する.$  試しにいくつかの$t$に対応する直線を図示すると以下のようになる.  何となく通過領域が予想できるが,\ 数式で明確に求めなければ不十分である.  しかし,\ $t$に無限にあるすべての実数を代入するわけにはいかない.  そこで,\ 逆像法を持ち出すのである.  $t}に対応して直線が定まり,\ その直線上の点が通過領域}となる.$  逆に,\ ${通過領域内の点}には,\ 対応する逆像t}が存在しているはずである.}$  例えば,\ 座標平面上の点$(1,\ -3)}$を通過するだろうか.  代入した$-3=2t-t²\ (t²-2t-3=0)を解くと,\ t=-1,\ 3}を得る.$  これは,\ $t=-1,\ 3}のとき,\ 点(1,\ -3)を通過する}ことを意味する.$  ちなみに,\ 対応する$tが2つあるので,\ 点(1,\ -3)は2回通過することになる.$  では,\ 点$(1,\ 3)}$を通過するだろうか.  より,\ 実数解が存在しない.$  $tは実数であるから,\ 点(1,\ 3)に対応する逆像tが存在しない}ことになる.$  これは,\ $直線が点(1,\ 3)を通過しない}ことを意味する.$  座標平面上の点は無限にあるから,\ 一般化し,\ 点を$(X,\ Y)$として考える.  に対応する逆像tが存在するよう(X,\ Y)の集合を定めればよい.$} この$tの2次方程式が,\ 少なくとも1つ実数解をもつことと同値}である.$ 判別式{求める領域は下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} (X,\ Y)とおいてもよいが,\ どうせ戻すので最初から(x,\ y)のまま計算する. 実数tが存在するということは,\ 方程式が実数解をもつということである. tがすべての実数をとるので,\ 条件は判別式D0だけで済む. 本問は,\ {数直線tの集合と座標平面上の点(x,\ y)の集合の対応}である. {「xとyの条件が,\ 残りの文字tの存在を追求して求まる」}という構造を要確認. に少なくとも1つ実数解をもつことと同値}である.$ { }\ $$\ $0 t1\ に2つの実数解(重解を含む)をもつ}とき$ $ ,\ \ より,\ {求める領域は下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} {tに範囲の制限があるので,\ 解の存在範囲(解の配置)問題に帰着}する. 図示するとき,\ {y=x²とy=2x-1が接している}ことに注意する. この種の問題では,\ 大抵接するはずなのでよく確認してから図示して欲しい.
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