複素数列(回転と拡大を繰り返す点の移動)

複素数平面の原点をP$₀$とし,\ P$₀$から実軸の正の方向に1進んだ点をP$₁$とする.\ 次に P$₁$を中心として${π}{4}$回転して向きを変え,\ ${1}{2}$進んだ点をP$₂$とする.\ 以下同様にP$_n$ に到達した後,\ ${π}{4}$回転してから前回進んだ距離の${1}{2}$倍進んで到達する点をP$_{n+1}$ とする.\ このとき,\ 点P$_{10}$が表す複素数を求めよ.          [日本女子大]  点P$_n$を表す複素数を$z_n$とすると,\ $OP$₁$}$}\ を表す複素数}は $z₁-z₀=z₁-0=z₁}$  さて,\ $P$_{1}$P$_{2}$}$}\ は\ $OP$_{1}$}$}\ を${π}{4}回転して{1}{2}倍したものに等しい.$}  同様に,\ $P$₂$P$₃$}$}\ は\ $P$₁$P$₂$}$}\ を${π}{4}$回転して${1}{2}$倍したものに等しい.}  これを繰り返すと を表す複素数}は  {同じ回転と拡大(縮小)を繰り返す点の移動}は複素数平面上で考えることが有効である. 複素数平面では{回転と拡大は単に掛けるだけであり,\ 結局等比数列の和に帰着する}からである. 便宜的にベクトルで表すと次のようになる. 後は,\ 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ a(1-r^n)}{1-r\ を適用する. また,\ α^{10}を{極形式とド・モアブルの定理を利用}して求める. 実際には直ちにz₁=1とすればよいが,\ 上の解答では応用性を考えて\ z₁=1\ を最後に代入した.
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