複素数の等式が表す三角形の形状決定

複素数平面上の原点以外の異なる3点A($α$),\ B($β$),\ C($γ$)に対して  三角形の形状はを極形式で表すことでわかる. {${AC$\ であるという図形的意味をもつ.  つまり,\ 2つの辺の比とその間の角が求まり,\ 三角形の形状がわかるのである. 辺の比となす角の情報を含む複素数\ {γ-α}{β-α}\ を求め,\ 極形式で表す. 後は\ AB}\ と\ AC}\ のなす角が となる三角形の形状を考えればよい. これだけの情報があれば,\ 三角定規の三角形であるとわかる. {三角形の大きさは決まらないが,\ 形状は決まる}わけである. 全体の流れを理解することは容易だが,\ 最初の変形が意外と厄介である. 本解のように\ {γ-α}{β-α}\ の形を目指すならば,\ 例えば次のような方法がある. ゆえに γ-α=(1+i)(β-α)   先を見越して両辺に\ α\ を足したわけである. これはなかなか難しいので,\ 次のように{変数変換}するのも有効である. よって A+α+αi=(1+i)(B+α)   展開して整理すると 実は,\ 本問は次のような変形が最も自然である. が成立しているとき,\ $$OABの面積$S$を求めよ. いずれも2次であり,\ 2次の項のみで作られた式を{2次同次式}という. 2次同次式は,\ {β²\ (または\ α²)\ で両辺を割る}と,\ {α}{β}\ (または\ {β}{α})\ の式にできる. {α}{β}=t\ とみなし,\ t²-2t+4=0\ を解けば\ {α}{β}\ が求まり,\ これを極形式で表せばよい. 辺の比となす角から三角形の形状が決定する(三角定規の三角形). さらに,\ {長さの情報\ α-β}=4\ も考慮}すると三角形が完全に決定する
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