複素数による図形の性質の証明

の解説の最後で(α+β)/2+(α-β)i/2とありますが、(α-β)/2+(α-β)i/2の誤りですm(_ _)m

複素数平面上の四角形ABCDの外側に各辺を1辺とする4つの正方形BAPQ,\ CBRS, DCTU,\ ADVWを作り,\ 各正方形の中心をそれぞれK,\ L,\ M,\ Nとおく. ${KM=LN,\ KM⊥ LN}$を証明せよ. 線分KMと線分LNの中点が一致するのは四角形ABCDがどんな図形のときか. 複素数による図形の性質の証明}BA}$を反時計回りに${π}{2}$回転したものが$BQ}$}である{K$(k)$は線分AQの中点} ${対角線AC,\ BDの中点が一致}するから,\ {四角形ABCDは平行四辺形}である.}$} 記述試験で図形の性質の証明が問われた場合,\ 大きく分けて次の5つの解法がある. 三角比・三角関数(数I・II}),\ 初等幾何(数A}),\ 座標平面(数II}),\ ベクトル(数B}),\ 複素数平面(数III}) それぞれのメリット・デメリットを考慮し,\ 解法を選択することになる. 複素数平面のメリットは,\ 何と言っても{回転移動に強い}ことである. 特に,\ {90° の回転移動(反時計回り)は,\ 複素数平面上では i}(=π}{2)である. 直角が多い本問の証明では,\ 複素数平面の利用が有効というわけである. 単に直角を扱うだけならば,\ ベクトルも有効である(内積0). ただし,\ 回転を利用できる正方形・直角二等辺三角形・正三角形は複素数平面が特に有効である. まず,\ {最終目標がn-l=i(m-k)}であることを理解できているかが重要である. $これは,\ m-k\ (KM})を{π}{2}回転するとn-l\ (LN})になることを意味している.$ これさえ示せば,\ {KM⊥ LN}はもちろん,\ {KM=LN}も示されたことになる. $KM}を{π}{2}回転してLN}と一致するならば,\ KM=LNであるはずだからである.$ 最終目標さえ認識できていれば,\ やること自体は単純である. 4点{A,\ B,\ C,\ D}を表す複素数を設定し,\ これを用いて他の点を表す. 基本的な流れは位置ベクトルの問題と同様だが,\ 回転移動を積極活用する. ${BK}がBA}を反時計回りに{π}{4}回転移動し,\ {2}{2}倍したもの}と考えることもできる.$ l,\ m,\ nも同様に求まるので,\ 最終目標を目指せばよい. α-β+γ-δ=0の図形的意味に気付く必要がある. ちなみに,\ 平行四辺形となるための条件は以下である(中学で学習).  2組の対辺がそれぞれ平行である(定義).  2組の対辺がそれぞれ等しい.  [3]2組の対角がそれぞれ等しい.  [4]対角線がそれぞれの中点で交わる.  [5]1組の対辺が平行で長さが等しい.
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