数列の極限④:はさみうちの原理と追い出しの原理

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n→∞となっていますが、∞以外の場合も成り立ちます。

十分大きい$n$においてはさみうちの原理) 十分大きい$n$においてue}{追い出しの原理) これらの原理は,\ {b_na_nc_nのように等号がなくても成り立つ.} また,\=”” n→∞とするのであるから,\=”” 小さいnにおける大小関係は影響しない.=”” 当たり前にも思える原理だが,\=”” 証明は大学の範疇である.=”” 次の極限を求めよ.\=”” ただし,\=”” $[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す.=”” はさみうちの原理が特に役立つのは,\=”” 三角関数が絡む極限の問題である.=”” 逆数をとり=””  }はガウス記号であり,\=”” 例えば\=”” 1}=”1,\” 3.2}=”3,\” -1.6}=”-2である.” {ガウス記号の扱いの1つに「不等式を作る」}というものがあった.=”” ある実数をxとすると,\=”” [x]=”” x<[x]+1\="" が成立する.="" 例えば,\="" x="2.5のとき,\" 2="2.5}2.5<2.5}+1=3\" である.="" は\="" xかつx<[x]+1であり,\="" 中央を[x]にすると\="" {x-1<[x]="" x}\="" となる.="" ガウス記号の極限は,\="" この不等式を利用して求めるのが基本である.="" 一方は等号がつかないが,\="" はさみうちの原理は等号の有無によらず成り立つのであった.="" 自然数$n$に対して$3^n$の桁数を$k_n$で表すとき,\="" $lim[n→∞]{k_n}{n}$を求めよ.    [慶応大]="" {桁数は10^mの不等式で扱う}のが基本である.\="" 「aは3桁」ならば,\="" 10²="" a<10³\="" とできる.="" 今,\="" 「3^nがk_n桁」であるから,\="" 10^{k_n-1}3^n<10^{k_n}とできる.="" 後は,\="" 各辺の対数をとり,\="" k_nについての不等式を作ればよい. log_{10}10^{k_n-1}log_{10}3^n
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