漸化式と極限④ 対数型と解けない漸化式

数列${a_n}$が$a₁=4,\ a_{n+1}={2a_n}$で定義されるとき,\ $lim[n→∞]a_n$を求めよ. 数列${a_n}$が$a₁=4,\ a_{n+1}={2a_n+3}$で定義されるとき,\ $lim[n→∞]a_n$を求めよ. {漸化式と極限 対数型と解けない漸化式 $a₁>0$より,\ $a_k>0$と仮定すると$a_{k+1}={2a_k}>0$であるから,\ 常に$a_n>0$である. { }両辺の底を2とする対数をとる}と $log₂a_{n+1}=log₂{2a_n}$ { }${b_n-1}$は,\ 初項$b₁-1=log₂a₁-1=1$,\ 公比$12$の等比数列であるから 積a_{n+1}a_n,\ 累乗(a_n)^p,\ 累乗根[p]{a_n}等を含む漸化式は,\ {両辺の対数をとる}と基本型に帰着しうる. このとき,\ 対数の真数部分は正でなければならないから,\ 両辺正を確認する必要がある. 本問程度なら「明らかに正」としてもよいが,\ 怪しい場合は数学的帰納法で厳密に証明する. この場合でも,\ 最低限の記述で十分である. 2があるので底を2とする対数をとった.\ 他の底でも解けるが,\ 後の処理が面倒になる. 対数の性質\ log M^k=klog M,\ log MN=log M+log N\ を適用すると,\ 特殊解型に帰着する. log₂{2a_n}=log₂(2a_n)^{1/2}=12log₂(2a_n)=12(log₂2+log₂a_n)=12(1+log₂a_n) }]$ のように漸化式が解けるならば,\ 解いてから極限にとばせばよいだけである. しかし,\ すべての漸化式が解けるとは限らず,\ 解けない場合は難易度が格段に上がる. というより,\ 求め方を覚えておかなければなす術がない. 誘導がつくことも多いが,\ 以下の理解と暗記がなければ結局誘導の意味が理解できない. 解けない漸化式で定められた数列$a_n$の極限の求め方 ${a_{n+1}=a_n=α$として極限値$α$を予想する. 何とかして不等式${a_{n+1}-α} ra_n-α}\ $を導く.  ($r$:$n$と無関係で${00より,\ この部分の絶対値ははずれる. 後は,\ {2}2a_n+3}+3} rとなるようなr\ (00を示すことになる. 00,\ a_k+2>0\ である. a_{n+1}-a_n>0を示せばよい.0<{a_n}²<1より,\ {a_n}²-1<0である. の1-a_{k+1}の計算結果を再利用できる. (a_n-1)²=(1-a_n)²と考えて,\ 1-a_nを1個分離する. 後は,\ 12(1-a_n)(a_n+2) となるようなrを1つ見つければよい.=”” これは,\=”” {f(a_n)=”12(1-a_n)(a_n+2)の最大値を求める}ことに相当する.” f(a_n)はa_nの2次関数なので,\=”” 平方完成すると最大値がわかるはずである.=”” f(a_n)=”-12(a_n+12)²+98\” は,\=”” 軸がa_n=”-12で上に凸の2次関数である.” 考慮すると,\=”” f(a_n)の取り得る値の範囲はつまりf(a_n)1が示されたわけだが,\=”” これでは満たさない.=”” そこで,\=”” という範囲をより厳しく限定して最大値を求める必要がある.=”” ここでの誘導が効いてくる.=”” この範囲においてf(a_n)の取り得る値の範囲は,\=”” である.=”” ゆえに,\=”” 1-a_{n+1}=”f(a_n)(1-a_n)f(a)(1-a_n)\” とできる.=”” ただし,\=”” r=”f(a)とするには,\” であることを確認}しておく必要がある.=”” 右図のようにグラフで考えてもよいし,\=”” 以下のように式で確認してもよい.=”” ,\=”” よりので,\=”” 絶対値を付ける必要はないを1つ見つければよいである.1つ見つければよい.
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