漸化式と極限③ 分数型

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数列${a_n}$が$a₁=1,\ a_{n+1}={5a_n}{3a_n+4}$で定義されるとき,\ $lim[n→∞]a_n$を求めよ. }{漸化式と極限 分数型 $a_{n+1}=0$と仮定すると,\ $a_{n+1}={5a_n}{3a_n+4}=0$より,\ $a_n=0$である. よって,\ $a_{n+1}=a_n=a_{n-1}==a₁=0$となるが,\ これは$a₁=1$と矛盾する $a_{n+1}={5a_n}{3a_n+4}$の両辺の逆数をとると 等比数列であるから a_{n+1}={pa_n+q}{ra_n+s}\ 型の漸化式は,\ {逆数をとって基本的な型に帰着させる.} 普通は逆数をとる前に特定の変形が必要だが,\ q=0の場合は必要なく,\ いきなり逆数をとれば済む. ただし,\ {逆数をとった後に分母が0になりえないことを確認}しておかなければならない. ここでは背理法を用いて示した.\ あるいは,\ 数学的帰納法で示してもよい. a₁0であり,\ a_k0を仮定すると漸化式よりa_{k+1}={5a_k}{3a_k+4}0である. どっちにしても,\ 最低限の記述で十分である. 公差1の等差数列なので $ a_{n+1}={pa_n+q}{ra_n+s}\ 型漸化式においてq0となると,\ 一気に面倒になる. まず,\ a_{n+1}=a_n=xとした特性方程式\ {x={px+q}{rx+s\ を解く. x={3x-4}{x-1}\ より,\ x²-4x+4=0であり,\ x=2を重解にもつ. つまり,\ 本問は{特殊解が重解αになるパターン}である.\ 重解にならない場合よりは楽である. {a_{n+1}-αを計算するとa_n-αが分子に現れる}ので,\ この変形をしてから両辺の逆数をとる. 当然,\ a_nαの確認を要する.\ さらに,\ {分子の次数下げ}を行うと,\ 基本的な型に帰着する. {a_n-1}{a_n-2}={(a_n-2)+1}{a_n-2}=1+{1}{a_n-2} 最後,\ 式を整理する必要はなく,\ そのまま極限にとばせばよい. 公比6の等比数列であるから 特定方程式 x={px+q}{rx+s}\ を解くと,\ {特殊解が異なる2解α,\ βになるパターン}である. a_{n+1}-αとa_{n+1}-βを計算すると,\ 分子にa_n-α,\ a_n-βが現れる. さらに,\ {2式の両辺を割ると,\ 等比数列型に帰着する.}\ ここでも,\ (分母)0の確認を要する.
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