無限等比数列と無限等比級数で表された関数のグラフと連続性

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収束するような$x$の範囲で,\ 次の関数のグラフをかき,\ 連続性を調べよ. 無限等比数列と無限等比級数で表された関数のグラフと連続性} 適切に場合分けをして極限を求めることができれば,\ その図示は容易である. 無限等比数列{r^n}は,\ {r=1を境にして極限が変化する}のであった. r<1,\ つまり{-11,\ つまり{r<-1,\ 1-1のときのf(x)=-1を用いて求める. limx→ -1-0}f(x)=limx→ -1+0}f(x)=-1であり,\ f(-1)=-1と一致するからx=-1で連続である. 書き出してみると f(x)=x+{x}{1+x}+{x}{(1+x)²}+{x}{(1+x)³}+ f(x)は,\ 初項x,\ 公比{1}{1+x}の無限等比級数である. 初項a,\ 公比rの無限等比級数は,\ {a=0のとき0に収束,\ r<1のとき{a}{1-r}に収束する.} {1}{1+x<11<1+x}1+x<-1,\ 1<1+xx<-2,\ 0 なお,\ {1}{1+x<1を-1<{1}{1+x}<1と考えると,\ 不等式を解くのが面倒になる. 1+x<0のときに分母をはらうと不等号の向きが変わるため,\ 安易に分母をはらえないからである. 結局,\ {f(x)の定義域はx<-\ 定義域の左端であるx=0における連続性を定義に従って調べる. 左端x=0では,\ {limx→+0}f(x)とf(0)が一致}すれば連続である. -2 x<0は定義域ではないので,\ これらの点における連続性を考える必要はない.
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