循環小数から分数への変換(0.999・・・・・・=1)

初項1,\ 公比2の無限等比級数$1+2+4+8+$は,\ 明らかに発散する. 一応確認すると,\ $lim[n→∞]S_n=lim[n→∞]{1(2^n-1)}{2-1}=∞$である. ところが,\ 次のような計算をすると収束してしまう. これは,\ 無限級数では安易に2式を足したり引いたりしてはいけないことを意味している. 「そもそもそんなことは考えもしないから大丈夫」などと思わなかっただろうか. しかし,\ 数Iで学習した循環小数を分数に変換する方法を思い出してほしい. 循環小数は無限級数である.\ 例えば,\ $0.111=0.1+0.01+0.001+$である. 実は,\ 安易にやってはいけないことを数Iの時点でしてしまっていたのである. 循環小数を分数に変換できないと困るので,\ 仕方なく許可されていただけである. 数III学習者は,\ 循環小数を無限等比級数の和として厳密に求めることになる. 次の循環小数を整数または分数に直せ. \ $0.9}=0.9+0.09+0.009+$は,\ 初項$0.9$,\ 公比$0.1$の無限等比級数である 初項a,\ 公比rの無限等比級数は,\ r<1のとき収束し,\ その和は{a}{1-r}であった. 本問は,\ まさに{0.999=1であることを示している. 0.999は1より小さい数ではなく,\ 1そのものなのである.\ このことの納得は容易ではない. 0.111=19は納得できるのに,\ 0.999=1は納得できないという人も多いだろう. 無限級数の和として厳密に求めても納得できない人は,\ 大学でそもそも実数とは何かを学んでほしい. }]$ \
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