積分方程式②(変数型)3パターン

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積分区間に変数xを含む場合,\ 両辺をxで微分する.} ところが,\ 一般に{両辺の微分は同値な変形ではない.} y=2x+1,\ y=2x+2\ がいずれもy’=2となるように,\ 微分すると定数項の情報がなくなる. これを積分しても,\ y=∫2dx=2x+C\ となり,\ 微分前の形に完全に復元することはできない. 初期条件(x,\ y)=(0,\ 1)などがあってはじめて,\ y=2x+1\ のように復元できる. つまり,\ あらかじめ{元の式が成立するような条件を1つ求めておく}必要があるわけである. 結局,\ {定積分が0になるような値を両辺のxに代入する}ことになる.\ 2x-1=a\ →\ x={a+1}{2} 最後,\ 2x-1をxに変える.\ 2x-1=tとするとx={t+1}{2}\ より,\ x\ →\ {x+1}{2}\ とすればよい.    両辺を$x$で微分}すると ]    さらに両辺を$x$で微分}すると    $与式との両辺にx=aを代入}すると$      被積分関数にxが含まれていると,\ {d}{dx}∫a}{x}f(t)dt=f(x)\ が適用できない. 展開するとxが前に出せ,\ 適用できるようになる. ここで,\ x∫a}{x}f(t)dt\ の微分は{積の微分}の扱いとなることに注意する. {f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ より,\ (x∫a}{x}f(t)dt)’=1∫a}{x}f(t)dt+x f(x)\ となる. さらにもう一度微分してf(x)が導かれる.\ 同値性を保つための条件も考慮する. 一般に\ ∫a}{x}(x-t)f(t)dt=F(x)\ のとき\ f(x)=F”(x)\ が成立するため,\ この式は頻出する.    $与式の両辺に\ x=0\ を代入}すると {被積分関数にf(x-t)を含む型}である.\ この型は,\ {置換積分}することでxを分離できる. e^x∫0}{x}e^{-u}f(u)du\ は{積の微分}の扱いとなる. 微分後,\ {元の式を利用できる}ことに気付かなければならない. f'(x)が求まるから,\ 積分してf(x)を求める.\ さらに,\ 初期条件も確認してf(x)が決定する. の利用に気付きにくいかもしれないが,\ 次を1つのパターンと考えておくとよい. f(x)+e^x∫0}{x}e^{-u}f(u)du=g(x)\ の両辺を微分すると f'(x)+e^x∫0}{x}e^{-u}f(u)du+f(x)=g'(x) よって,\ f'(x)+g(x)=g'(x),\ つまり\ f'(x)=g'(x)-g(x)\ が成立する.
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