積分漸化式∫xnexdxの応用④ ガンマ関数Γ(p)(階乗の実数への一般化)

実数p>0のとき,\ Γ(p)=limt→∞}∫0}{t}x^{p-1}e^{-x}dx\ は収束する.\ このとき,\ 次の等式が成$ り立つことを示せ.\ ただし,\ limt→∞}t^{k}e^{-t}=0\ (k:定数)\ は既知とする.$ $自然数nに対して     $自然数nに対して,\ を繰り返し適用すると$ {部分積分によって漸化式を作成}後,\ 極限をとるだけである. 導かれた漸化式は{階比数列型}であるから,\ 次を順次適用すると一般項が求められる.. はp>0で成り立つ等式であるからΓが最後である.  階乗の実数への一般化   場合の数分野で学習した階乗は自然数$n$に対して定義されていた.   より,\ ガンマ関数$Γ(p)$は,\ 自然数$n+1$を代入すると$n!$となる.   よって,\ 逆に${実数pに対して\ p!=Γ(p+1)}\ と定義するのが自然}である.$   こうして自然数の階乗を実数の階乗にまで一般化できる.   右辺の計算は単純にはできないが,\ ${π}$であることが知られている.   もはや,\ $-12人の並び方が{π}\ 通り$などと考えても意味はない(面白いけど).
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