tanxの逆関数の定積分表示f(x)=∫1/(t²+1)dtと性質

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tan x}$の逆関数${∫0}{x}{1}{t²+1}dt}$の性質 $y=tan x(-{π}{2}0)について,\ 次の問いに答えよ.$  $f({1}{3})を求めよ.$  $∫0}{\frac{1}{√3xf(x)dxを求めよ.$  $f(x)+f(1x)が定数であることを示し,\ その値を求めよ.$  $lim[x→∞]f(x)$を求めよ.  実数$x,\ y$がを満たすとする.=”” { }このとき,\=”” $f({x+y}{1-xy})=”f(x)+f(y)$が成り立つことを示せ.”  $f(2-3)$の値を求めよ.=”” =”” {1}{x²+1}を含む定積分では,\=”” x=”tanθ\” と置換して積分するのが基本であった.=”” 公式\=”” 1+tan²θ=”{1}{cos²θ}\” を適用すると,\=”” 結局1の積分に帰着するという頻出問題である.=”” 今見直すと,\=”” ∫0}{\frac{1}{√3{1}{t²+1}dt=”f({1}{3})=f(tan{π}{6})={π}{6}\” というカラクリであったことがわかる.=”” {部分積分}すると,\=”” x²f'(x)の積分に帰着する.=”” 一般に,\=”” {d}{dx}∫a}{x}f(t)dt=”{d}{dx}[F(t)]{a}{x}={d}{dx}{F(x)-F(a)}=F'(x)-0=f(x)が成り立つ.” よって,\し,\=”” 分子の次数を分母よりも小さくする.=”” \であることを利用できる.=”” {導関数が0であることを示せば,\=”” 常に一定値をとることが示されたことになる.}=”” {f(1x)}’は,\=”” 合成関数の微分法の扱いになる.=”” 定数であることが確定済みなので,\=”” 後は適当なxのときの値を求めればよい.=”” 定積分の途中過程は省略してよいだろう.=”” でf({1}{3})が既知なので,\=”” f(3)=”{π}{3}を求めて\” {π}{3}+{π}{6}=”{π}{2}\” としてもよい.=”” 本問を逆に考えてみよう.\=”” 足して{π}{2}になる2つの角度α,\=”” {π}{2}-α\=”” があるとする.=”” f(x)=”α\” とするとx=”tanα,f(1x)={π}{2}-α\” とすると1x=”tan({π}{2}-α)である.” つまり,\=”” 本問は三角関数の公式\=”” tan({π}{2}-α)=”{1}{tanα}\” を意味している.=”” の結果を利用する.\=”” f(0)=”∫0}{0}{1}{t²+1}dt=0である.\” 本問の意味合いは後で示す.=”” f(x)がtan=”” xの逆関数であることを認識していなければ厳しい.=”” x+y}{1-xy}\=”” という式をみてtanの加法定理を連想}できれば,\=”” このような解答が可能になる.=”” 言い換えると,\=”” 本問はtanの加法定理の別表現である.=”” まず,\=”” {tan15°=”2-3,tan75°=2+3}\” であることくらいは覚えておきたい.=”” 実際,tan15°=”tan(45-30)°={tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}={1-{1}{3{1+1{1}{3={3-1}{3+1}=2-3である.” tan15°=”2-3\” を知らない場合,\=”” の利用方法もなかなか思いつかないだろう.=”” 要するに,\=”” 30°=”15°+15°\” と考えればよいわけである.=”” の関係には適用条件があるから,\=”” それを確認した上で適用すること.=”” なお,\=”” tan{π}{12}=”2-3\” を覚えているならば,\=”” 別解のように解く方が速い.=”” }]$=”” 最後に,\=”” 図形的意味も確認しておこう.=”” \=”” 左図から,\=”” $x=”1=tan{π}{4}$のとき,\” 面積が${π}{4}$になることがわかる.=”” $f(tanθ)=”θ$は,\” ${x=”tanθ}$のとき,\” 面積が${θ}$になるという図形的意味をもつわけである.=”” 右図は,\=”” の図形的な意味合いである.=”” 大学では積分区間の一方または両方が$∞$の定積分も登場し,\=”” これを広義積分という.=”” $∫0}{∞}f(x)dx=”lima→∞}∫0}{a}f(x)dx$であり,\” 大学入試でも右辺の形で時々広義積分が登場する.=”” 右図の場合も$f(tanθ)=”θ$をみたしている.” 以上から,\=”” 面積を起点として${tanθ}$を定義しても通常の定義と矛盾しないことがわかる.=”” 面積が${θ}$のときの${x}$座標を${tanθ}$と定義できる.=”” 例えば,\=”” 面積${π}{4}$のとき$tanθ=”x=1$,面積${π}{2}$のとき$tanθ=x=∞$である.
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