1階線形微分方程式 dy/dx+P(x)y=Q(x)

変数分離形の次に大学入試で頻出するのが,\ 1階線形微分方程式である. 1階線形微分方程式   ただし,\ 一般の1階線形微分方程式を解くのは難しい. よって,\ 大学入試で登場するのは,\ 1階線形微分方程式の特殊な場合である. 原則として誘導がつくが,\ 誘導なしで解けるようにしておくと問題の見通しがよくなる. ${P(x)=a\ (定数)$の場合  この型は,\ 両辺に${e^{ax$を掛けて左辺を積の微分法の形にした後,\ 両辺を積分する. 両辺に$e^{ax}$を掛けると  この型は,\ 両辺に${x}$を掛けて左辺を積の微分法の形にした後,\ 両辺を積分する. 両辺に$x$を掛けると 積の微分法\ {f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ より (e^{ax}y)’=ae^{ax}y+e^{ax}y’ これを逆に用いるため,\ y’+ay=Q(x)型では両辺にe^{ax}を掛けるわけである. 同様に,\ (xy)’=y+xy’\ を逆に用いるため,\ y’+ yx=Q(x)型では両辺にxを掛ける. なお,\ Q(x)=0のとき,\ {dy}{dx}+P(x)y=0\ は\ {dy}{y}=-P(x)dxとできるから,\ 変数分離形である. { }両辺を$x$で微分すると $両辺を$x$で微分すると}(C:任意定数)}$} 積分区間に変数を含む積分方程式では,\ {定積分の値が0になるような値を両辺のxに代入する.} これは原則必須である.\ つまり,\ 誘導がなくてもf(0)を求める必要がある. 変数型の積分方程式では,\ {d}{dx}∫a}{x}f(t)dt=f(x)を利用するため,\ {両辺をxで微分する.} ただし,\ 被積分関数にxが含まれていると利用できないので,\ {展開してxを前に出す.} x∫0}{x}f'(t)dtは,\ {積の微分法}の扱いとなることに注意する. ∫0}{x}f'(t)dtは普通に計算でき,\ の結果を代入すると答えが得られる. よりf'(x)+f(x)=cos x,\ つまりy’+y=cos xで,\ これは1階線形微分方程式である. よって,\ e^xを両辺に掛けることになるが,\ 実際に出題される場合,\ このような誘導がつく. の{e^xf(x)}’=e^xcos xより,e^xf(x)=∫e^xcos xdx\ である. (指数関数)(三角関数)は,\ {指数関数を微分形とみて2回部分積分すると同形が現れる.}最後,\ 初期条件を考慮してCを求める.
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