sinθとcosθ、tanθと1/tanθの対称式・交代式の値

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sin\theta+\cos\theta=\bunsuu12\ のとき,\ 次の式の値を求めよ.$ \sin^3\theta+\cos^3\theta$         & (2)\ \ $\sin^3\theta-\cos^3\theta$ \\[.8zh] (3)\ \ $\sin^4\theta+\cos^4\theta$ & (4)\ \ $\sin^4\theta-\cos^4\theta$ \\[.8zh] (5)\ \ $\tan\theta+\bunsuu{1}{\tan\theta}$ & (6)\ \ $\tan^3\theta+\bunsuu{1}{\tan^3\theta}$ \\[1zh] (7)\ \ $\sin\theta,\ \ \cos\theta$\sin\theta\,と\,\cos\theta\ の対称式・交代式}$}}}} \\\\  対称式・交代式の扱いについては,\ 他分野でも繰り返し述べてきた. \\[.2zh]  また,\ ほぼ同じ問題を数Iの三角比ですでに学習済みなので,\ ここでは簡潔な解説に留める. \\[1zh]  $x^2+y^2,\ x^3+y^3$のように文字を入れ替えても変わらない式を対称式という. \\[.2zh]  2変数対称式は,\ 必ず基本対称式$x+y$と$xy$のみで表せる. \\[.2zh]  よって,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\sin\theta}$と$\bm{\cos\theta}$の対称式は,\ $\bm{\sin\theta+\cos\theta}$と$\bm{\sin\theta\cos\theta}$のみで表せる.}} \\[1zh]  さらに,\ $\sin\theta$と$\cos\theta$の場合には,\ 常に\ $\bm{\textcolor{cyan}{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}}$の関係が存在する. \\[.2zh]  これを用いると,\ \textbf{\textcolor{magenta}{和$\bm{\sin\theta+\cos\theta}$と積$\bm{\sin\theta\cos\theta}$の一方の値から他方の値を求められる.}} \\[1zh]  結局,\ $\bm{\textcolor{red}{\sin\theta\,と\,\cos\theta\ の対称式の値は,\ 和と積の一方の値だけで求められる.}}$ \\\\\\  (1)\ \ $\sin\theta+\cos\theta=\bunsuu12\ の\textcolor{red}{両辺を2乗}すると$ \bm{和\ \sin\theta+\cos\theta\ は,\ 2乗によって積\ \sin\theta\cos\theta\ と結びつく.} \\[1zh] 本解は,\ 対称式の基本変形\ \bm{x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)}\ を用いるものである. \\[.2zh] ただし,\ \sin\theta\,と\,\cos\theta\,の対称式の場合は因数分解する方針が楽である(別解). \\[.2zh] \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ が利用できるからである.   \bm{x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)} x^2-y^2,\ x^3-y^3\,のように,\ 文字を入れ替えると正負が逆になる式を\bm{交代式}という. \\[.2zh] 交代式は,\ \bm{2乗すると対称式}となる.\ また,\ \bm{必ず差をくくり出せ,\ 残りは対称式}となる. \\[1zh] \bm{x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)}\ または\ \bm{x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)}\ を利用する. \\[.2zh] どちらにせよ\ \sin\theta-\cos\theta\ の値が必要になるので,\ 2乗で対称式にして求める. \\[.2zh] 2乗をはずすとき,\ \bm{正か負か両方かを確認する}必要がある. \\[.2zh] x^4+y^4=(x^2)^2+(y^2)^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2 x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x+y)(x-y) \tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta},\ \ \bunsuu{1}{\tan\theta}=\bunsuu{\cos\theta}{\sin\theta}\ より,\ 実質\,\sin\theta\,と\,\cos\theta\,の対称式である. \bm{\tan\theta\ と\ \bunsuu{1}{\tan\theta}\ の対称式}なので,\ xと\,\bunsuu1x\,の対称式と同様に\ \tan\theta+\bunsuu{1}{\tan\theta}\ のみで表せる. \\[1zh] \bm{基本対称式(和と積)をなす2変数を求めるとき,\ 2次方程式を作成する}のが基本であった. \\[1zh] x=\alpha,\ \beta\ を解にもつ2次方程式の1つは (x-\alpha)(x-\beta)=0\ より x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0 \\[.2zh] よって,\ 和\,\alpha+\beta\,と積\,\alpha\beta\,の値から\ \alpha,\ \beta\ を解にもつ2次方程式を作成できる. \\[1zh] ちなみに,\ 一番最初に\,\sin\theta,\ \cos\theta\,を値を求めると,\ (1)~(6)を代入するだけで求められる.
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