本項は数Iの2次関数で学習した解の存在範囲(解の配置)問題を習得済みであることを前提としています。
2次方程式の解の存在範囲 高難度の最終形態
定期試験・大学入試に特化した解説。「少なくとも1つの実数解」は「異なる2つの実数解」と「ただ1つの実数解」の場合に分けて考える。
examist.jp
方程式$\cos^2θ+2a\sinθ-a-1=0$を満たす角$θ$が存在するための定数$a$の値の範囲
を求めよ. 三角方程式の解の存在条件{角$θ$の存在条件は,\ $f(t)=0$が$-\,1≦ t≦1$の範囲に少なくとも1つの解をもつことである. に2つの実数解(重解を含む)をもつ}とき$
\sin^2θ+\cos^2θ=1を用いて関数を\sinθ\,に統一し,\ 置換する.
置換したとき,\ 置換後の文字のとりうる値の範囲を確認しなければならない}ことに注意する.
特に\,θ\,の範囲がなければ,\ t=\sinθ\,のとりうる値の範囲は当然-1≦ t≦1である.
f(t)=0\ (-\,1≦ t≦1)を満たす実数tが1つでもあれば,\ 対応する角\,θ\,も少なくとも1つ存在する.
よって,\ 下線部が求める条件となる.\ これは,\ 数 Iの2次関数で学習した解の存在範囲の問題}である.
その中で、「少なくとも1つの実数解」は最高難度に位置づけされる.
実数解が2つの場合と1つの場合を分けて考えるのが基本となる.
まず,\ f(t)=0が2つの実数解をもつ条件を考える.\ ただし,\ 重解も2つの実数解に含める.
「判別式」「軸の位置」「区間の端のy座標の正負」}に着目して条件を立式するのであった.
次に,\ -\,1
