三角方程式の解の存在条件

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本項は数Iの2次関数で学習した解の存在範囲(解の配置)問題を習得済みであることを前提としています。

2次方程式の解の存在範囲 高難度の最終形態
定期試験・大学入試に特化した解説。「少なくとも1つの実数解」は「異なる2つの実数解」と「ただ1つの実数解」の場合に分けて考える。
complex-number-equality
方程式$\cos^2\theta+2a\sin\theta-a-1=0$を満たす角$\theta$が存在するための定数$a$の値の範囲 \\[.2zh] \hspace{.5zw}を求めよ. 三角方程式の解の存在条件{角$\theta$の存在条件は,\ $f(t)=0$が$-\,1\leqq t\leqq1$の範囲に少なくとも1つの解をもつこと}}である. に2つの実数解(重解を含む)をもつ}とき$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1を用いて関数を\sin\theta\,に統一し,\ 置換する. \\[.2zh] 置換したとき,\ \bm{置換後の文字のとりうる値の範囲を確認しなければならない}ことに注意する. \\[.2zh] 特に\,\theta\,の範囲がなければ,\ t=\sin\theta\,のとりうる値の範囲は当然-1\leqq t\leqq1である. \\[1zh] f(t)=0\ (-\,1\leqq t\leqq1)を満たす実数tが1つでもあれば,\ 対応する角\,\theta\,も少なくとも1つ存在する. \\[.2zh] よって,\ 下線部が求める条件となる.\ これは,\ 数\text Iの2次関数で学習した\bm{解の存在範囲の問題}である. \\[.2zh] その中で、「少なくとも1つの実数解」は最高難度に位置づけされる. \\[.2zh] 実数解が2つの場合と1つの場合を分けて考えるのが基本となる. \\[1zh] まず,\ f(t)=0が2つの実数解をもつ条件を考える.\ ただし,\ 重解も2つの実数解に含める. \\[.2zh] \bm{「判別式」「軸の位置」「区間の端のy座標の正負」}に着目して条件を立式するのであった. \\[1zh] 次に,\ -\,1
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