三角形に関する有名等式の証明(和積の公式を利用)

スポンサーリンク
triangle-proof
$$ABCにおいて,\ 次の等式が成り立つことを証明せよ.  3問とも代表的な等式であり,\ 同様の流れで変形できる.  2回和積の公式を適用して,\ 3つの和を3つの積にするのが根幹である. 実際に解答するには,\ 三角関数の各公式に対する相当な慣れと演習が必要である. {ABC}という条件は,\ {3角の和が180°} という条件(数式)に変換できる. {この等式条件で文字を1つ消去}することで,\ 条件を等式に反映する. Cを消去し,\ 三角関数の性質を使うと,\ 結局\ sin2C=-sin2(A+B)\ となる. 2変数になったので,\ 和積の公式を用いてまとめていく. sin2A+sin2Bに公式\ {sin A+sin B=2sin{A+B}{2}cos{A-B}{2\ を適用する. {共通因数を作り出すために,\ sin2(A+B)に2倍角の公式を適用する.} 中括弧内に公式\ {cos A-cos B=-2sin{A+B}{2}sin{A-B}{2\ を適用する. これを整理すると4sin Asin Bができる. 右辺と見比べると,\ 後はsin(A+B)\ をsin Cに変換できればよい. A+B+C=π\ を\ {A+B=π-C}\ として代入し,\ 三角関数の性質を用いる. 適当に変形するのではなく,\ 意図を持って各公式を適用することが重要である. そのためには,\ 右辺の形と見比べながら変形していく必要がある. 効率化し,\ 半分くらいの記述量で証明できるくらいまでに慣れておきたい. ほぼと同じだが,\ 決定的なポイントが次である. {sin(A+B)=sin2{A+B}{2}\ と考えて2倍角の公式を使う.} つまり sin(A+B)=sin2{A+B}{2}=2sin{A+B}{2}cos{A+B}{2} 共通因数を作り出すために,\ このように無理矢理変形するのは慣れが必要だろう. と同様,\ 無理矢理2倍角の公式で共通因数を作り出すのがポイントである.
タイトルとURLをコピーしました