cos36°とsin18°の値(三角方程式を用いた代数的解法)

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数Iの三角比で学習した幾何的解法も重要である。

cos36sin18
30°\ や45°\ など以外にも, 三角比の値が割と綺麗な値になる角がある.$  $例えば,\ 15°\ や\ 22.5°\ の三角比の値は,\ 加法定理などで容易に求まる.$  $他18°,\ 36° などの三角比の値も綺麗になるが,\ {求め方は暗記を要する.$  $代数的手法と幾何的手法の2つがあるが,\ ここでは代数的な方法で求める.$  $代数的には,\ 次のような発想で求めることができる.$  ${36° を\ θ\ として,\ cosθ\ (=cos36°)の方程式}を作成して解く.}$  三角比の値を,\ 三角比の方程式}を作成して求めるのである. θ=36°\ とするとき,\ {5倍して180°} となることに着目する. θ\ は変数ではなく,\ {実際は36° という定数}であることを意識しながら解く. cos36° の方程式を作成するため,\ {2θ\ と3θ\ に分割}する. {両辺のsin} をとり,\ さらに右辺に{補角の公式\ sin(180°-θ)=sinθ}\ を適用する. sin3θ\ に3倍角の公式,\ sin2θ\ に2倍角の公式を適用して{角を統一}する. θ=36° であるからsinθ0\ であり,\ それゆえ{両辺をsinθ\ で割る}ことができる. さらに三角関数の相互関係を用いると,\ {cosθ\ のみの方程式}となる. これを解いて\ cosθ\ を求めれば,\ cos36° が求まったことになる. 上に示した途中計算は,\ あくまでも1例である. 両辺のcos をとり,\ cos3θ=cos(180°-2θ)\ として解くこともできる. また,\ 2θ=180°-3θ\ や,\ θ=180°-4θ\ として解くこともできる. どのような手順にせよ,\ {cos36°\ の方程式を作成する}ということに変わりはない. cos36°=cos{π}{5}\ と,\ 角がラジアンの場合もある. できれば,\ {cos36°={5+1}{4\ は暗記しておくとよい. 両辺のsinをとる{整理して因数分解}] θ=18°\ とするとき,\ {5倍して90°} となることに着目する. θ\ は変数ではなく,\ {実際は18° という定数}であることを意識しながら解く. sin18° の方程式を作成するため,\ {2θ\ と3θ\ に分割}する. {両辺のsin} をとり,\ さらに右辺に{余角の公式\ sin(90°-θ)=cosθ}\ を適用する. sin3θ\ に3倍角の公式,\ cos2θ\ に2倍角の公式を適用して{角を統一}する. cos2θ\ は3通りの表現があるが,\ {関数も統一}するため,\ sin のみの表現を用いる. sinθ\ の3次方程式となるので,\ 因数定理を用いて因数分解する. さらに,\ θ=18° のとき\ sinθ1\ より,\ sinθ-1=0\ は排除される. 結局sinθ\ の2次方程式となり,\ これを解けば\ sin18° が求まったことになる. sin18°=sin{π}{10}\ と,\ 角がラジアンの場合もある. できれば,\ {sin18°={5-1}{4\ は暗記しておくとよい.
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