cos36°とsin18°の値(三角方程式を用いた代数的解法)

スポンサーリンク

数Iの三角比で学習した幾何的解法も重要である。

complex-number-equality
\cos36\Deg の値を求めよ.        (2)\ \ \sin18\Deg の値を求めよ.$ \\cos36\Deg と\sin18\Deg の値}$}}}} \\\\[.5zh]  $30\Deg\,や45\Deg\,の倍数以外にも,\ 三角関数の値が割と綺麗になる角がある.$ \\[.2zh]  $15\Deg\,や22.5\Deg$の三角関数の値を,\ 加法定理や半角の公式で求める方法を学習済みである. \\[1zh]  さて,\ $\bm{\textcolor{forestgreen}{18\Deg\,の倍数の三角関数の値も割と綺麗になる}}のだが,\ \bm{\textcolor{magenta}{求め方は暗記}}を要する.$ \\[.2zh]  幾何的手法(数I三角比で学習)と代数的手法があり,\ 本項では\textbf{\textcolor{blue}{代数的な方法}}を紹介する. \\[1zh]  $\bm{角を\,\theta\,とおき,\ \textcolor{red}{\cos\theta\,または\sin\theta\,についての方程式}を作成する}という特殊な方法になる.$ \\[.2zh]  その際,\ 三角関数の各種公式を利用する必要がある. \\\\\\  (1)\ \ $\textcolor{red}{\theta=36\Deg}\ とすると \textcolor{red}{5\theta=180\Deg}\ より 3\theta=180\Deg-2\theta$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{両辺の$\sin$をとる}と $\textcolor{cyan}{\sin3\theta=\sin(180\Deg-2\theta)}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\textcolor{red}{\sin3\theta=\sin2\theta}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ゆえに $3\sin\theta-4\sin^3\theta=2\sin\theta\cos\theta$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{\sin\theta=\sin36\Deg\neqq0}\ より 3-4\sin^2\theta=2\cos\theta$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $よって \textcolor{red}{4\cos^2\theta-2\cos\theta-1=0}$  \ \hspace{.1zw}$[\,\textcolor{brown}{\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\,を適用した}\,]$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ この$\textcolor{forestgreen}{\cos\theta\,についての2次方程式}を解くと \cos\theta=\bunsuu{1\pm\sqrt5}{4}$ \\\\ \theta=36\Deg\,とし,\ \bm{5倍すると180\Deg} という綺麗な角になることに着目する. \\[.2zh] \theta\,は変数ではなく,\ \bm{実際は36\Deg という定数}であることに注意してほしい. \\[.2zh] \cos\theta=\cos36\Deg についての方程式を作成し,\ それを解くと\,\cos36\Deg\,の値が求まるというわけである. \\[1zh] \bm{5\theta\,を2\theta\,と3\theta\,に分割}し,\ \bm{両辺の\sin} をとる. \\[.2zh] 右辺に\bm{補角の公式\ \sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta}\ を適用し,\ 簡単にする. \\[.2zh] \sin3\theta\,に3倍角の公式,\ \sin2\theta\,に2倍角の公式を適用し,\ \bm{角を統一}する. \\[.2zh] \theta=36\Deg であるから\sin\theta\neqq0\ であり,\ それゆえ\bm{両辺を\sin\theta\,で割る}ことができる. \\[.2zh] さらに三角関数の相互関係を用いると\bm{\cos\theta\,についての2次方程式}となる. \\[.2zh] 36\Deg は第一象限の角なので,\ その\cos は正である. \\[1zh] ここで示した途中計算は,\ あくまでも1例である. \\[.2zh] 両辺の\cos をとり,\ \cos3\theta=\cos(180\Deg-2\theta)\ として解くこともできる. \\[.2zh] また,\ 2\theta=180\Deg-3\theta\ や,\ \theta=180\Deg-4\theta\ として解くこともできる. \\[.2zh] 細かい部分の違いはあっても,\ \bm{\cos36\Deg についての方程式を作成する}ということに変わりはない. \\[1zh] わかりやすさを優先して度数法で表したが,\ 通常はラジアンで出題される.\ \cos36\Deg=\cos\bunsuu{\pi}{5}\,である. \\[.2zh] \theta=\bunsuu{\pi}{5}\,とおき,\ \sin3\theta=\sin(\pi-2\theta)などとして求めることになる. \\[.2zh] できれば,\ \bm{\cos36\Deg=\bunsuu{\ruizyoukon5+1}{4}}\ は暗記しておくとよい. \\\\ \cos36\Deg\,の値が求まれば,\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,や\,\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\,より,\ \sin36\Deg\,や\,\tan36\Deg\,も求まる. \\[.8zh] ちなみに,\ \sin36\Deg=\bunsuu{\ruizyoukon{10-2\ruizyoukon5}}{4},\ \ \tan36\Deg=\ruizyoukon{5-2\ruizyoukon5}\ である. \\[1zh] また,\ 余角の公式より,\ \sin54\Deg=\sin(90\Deg-36\Deg)=\cos36\Deg\,である. \theta=18\Deg}\ とすると \textcolor{red}{5\theta=90\Deg}\ より 3\theta=90\Deg-2\theta$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{両辺の$\sin$をとる}と $\textcolor{cyan}{\sin3\theta=\sin(90\Deg-2\theta)}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\textcolor{red}{\sin3\theta=\cos2\theta}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ゆえに $3\sin\theta-4\sin^3\theta=1-2\sin^2\theta$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ つまり $(\sin\theta-1)(4\sin^2\theta+2\sin\theta-1)=0$ \\[-4.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{\sin\theta=\sin18\Deg\neqq1}\ より \textcolor{red}{4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ この$\textcolor{forestgreen}{\sin\theta\,についての2次方程式を解く}と \sin\theta=\bunsuu{-\,1\pm\sqrt5}{4}$ \\\\ \centerline{$\therefore \textcolor{cyan}{\sin\theta=\sin18\Deg>0}\ より \sin\theta=\bm{\sin18\Deg=\bunsuu{-\,1+\sqrt5}{4}}$} \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \theta=18\Deg\,とし,\ \bm{5倍すると90\Deg} という綺麗な角になることに着目する. \\[.2zh] \bm{2\theta\,と3\theta\,に分割}して\bm{両辺の\sin} をとり,\ 右辺に\bm{余角の公式\ \sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta}\ を適用する. \\[.2zh] \cos の2倍角の公式には3通りの表現があったが,\ \bm{関数も統一}するために \sin のみの表現を利用する. \\[.2zh] 整理すると\sin\theta\,についての3次方程式ができるので,\ 因数定理を用いて因数分解する. \\[.2zh] \theta=18\Deg のとき\sin\theta\neqq1より,\ \sin\theta-1=0\ となることはない. \\[.2zh] なお,\ \sin18\Deg=\sin\bunsuu{\pi}{10}\,である.\ また,\ \bm{\sin18\Deg=\bunsuu{\ruizyoukon5-1}{4}}\,は暗記しておくとよい. 余角の公式より \cos72\Deg=\cos(90\Deg-18\Deg)=\sin18\Deg
タイトルとURLをコピーしました