三角関数の三角形への応用② 3辺の長さの和と積のとりうる値の範囲

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三角形ABCにおいて,\ 外接円の半径が1,\ $\angle\mathRM{A}=\bunsuu{\pi}{3}$であるとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\mathRM{AB+BC+CA}$のとりうる値の範囲を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\mathRM{AB\cdot BC\cdot CA}$のとりうる値の範囲を求めよ. \\三角関数の三角形への応用\maru2 3辺の長さの和と積}$}正弦定理より 三角形の外接円の半径ときたら正弦定理である.\ 長さの式を\bm{角についての式に変換}できる. \\[.2zh] また,\ 三角形という条件は数式条件「\bm{A+B+C=\pi,,」に変換できる. \\[.2zh] Aが既知でB+Cが求まるから,\ 三角関数の\bm{和→積の公式によりB+Cを作り出す.} \\[.2zh] \cos\bunsuu{B-C}{2}\,のとりうる値の範囲に帰着するので,\ 角\,\bunsuu{B-C}{2}\,の範囲を考慮した上で求める. \bm{2つの不等式を合体させるとき,\=”” 差ではなく和として合体させなければならない}のであった.=”” \\[.2zh]=”” の各辺を足すと等号は,\=”” \cos\bunsuu{b-c}{2}=”1より\,\bunsuu{B-C}{2}=0,\” つまりb=”Cのとき成立する.” このときa=”B=C=\bunsuu{\pi}{3}\,となるから,\” 結局\bm{正三角形のとき周長が最大}となる.$\sin=”” b+\sin=”” c$のとりうる値の範囲を求める部分}\,=”” 別解は,\=”” 等式条件の基本的な扱いである\bm{1文字消去}を利用するものである.=”” 加法定理で分解して整理するとa\sin\theta+b\cos\theta\,の形ができるので,\=”” \bm{三角関数の合成}を行う.=”” \sin\hspace{-.2zw}\left(b+\bunsuu{\pi}{6}\right)のとりうる値の範囲に帰着する. =”” (1)とは逆に,\=”” 三角関数の\bm{積→和の公式によりb+cを作り出す.}=”” \cos(b-c)=”1よりB=Cのとき成立するから,\” \bm{正三角形のとき最大}となる.=”” 1文字消去後に加法定理を適用して整理すると,\=”” \bm{\sin=”” bと\cos=”” bの2次同次式}となる.=”” \sin=”” と\cos=”” の2次同次式は,\=”” \bm{2倍角の公式の逆で次数下げした後,\=”” 三角関数の合成を行う}のであった.=”” \\[.5zh]=”” \cos2\theta=”1-2\sin^2\theta  \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta
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