弧度法の意義、扇形の弧長と面積

circular-measure
角度を扱う新たな概念を導入する.  長らく,\ 1周を360$°$とする度数法によって角度を扱ってきた.  360は1年の日数に由来すると言われるが,\ 数学的な根拠に乏しい.  常に一定であるものを基準として角度を定義するのが数学的である.  円に関しては,\ 「円周の長さと直径の比」が一定であることが知られている.  つまり,\ ${円の大きさによらず,\ {(円周の長さ)}{(円の直径)}=3.14\ (一定)\ である.$  これが,\ 言わずと知れた円周率\ ${π}$\ の定義である.  半径を用いると,\ $(円周の長さ)}{(円の半径)}=2π\ (一定)$\ である.  これを基準として角度を定義すればよかったのだ.  つまり,\ ${1周360°=2π$\ とするわけである.  このとき,\ $半周180°=π,14周90° ={π}{2}\ などとなる.$  実際には,\ ${半径rの円の弧長rに対する中心角を1ラジアンと定義する.$  ここで,\ 単位のラジアンはあくまでも便宜上のものである.  実際には,\ 単なる比なのであるから無次元(単位なし)である.  つまり,\ 上図の1ラジアンは,\ 実際には1\ (←これが角度)である.  弧度法を用いることで,\ 角度を数そのもので表せるようになったのだ.  今後,\ 度などという数学的に訳の分からない単位を持ち出す必要はない. 次の角を,\ 度数は弧度に,\ 弧度は度数に換算せよ. π=180°\ として計算すればよい. 中心角\ θ\ (ラジアン)\ に対する扇形の弧長をlとする. ここで,\ 中心角2π\ に対する弧長は,\ 2π r\ (円周の長さ)である. よって {(中心角):(弧長)=θ:l=2π:2π r} より l=rθ 同様に,\ 中心角2π\ に対する面積は,\ π r²\ (円の面積)である. よって {(中心角):(面積)= このように,\ 角度を弧度法で表すと,\ 扇形の弧長と面積の公式は非常に簡潔になる. 実際に求める場合も,\ 半径と角度(ラジアン)を公式に単純に代入するだけである. 中学生のように,\ 「中心角が360° の何分の一か」などと考える必要はもうない. 上のように導くことはできるが,\ {扇形と弧長の面積は暗記}しておくべきである. ちなみに,\ {扇形(円)の弧長と面積はrで微分・積分の関係}にある.
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