正接(tan)の加法定理に関する有名問題演習

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\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan C\tan A=1$\ が成り立つことを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 直角三角形ではない$\triangle$ABCに対して,\ $\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$ が成り立つことを示せ.{正接の加法定理の応用}}}} \\\\[.5zh]  本項では,\ 正接($\tan$)の加法定理に関する有名問題を演習する. \\[.2zh]  初見で解くには厳しい問題が多いので,\ 一度は経験しておくことが望ましい. まず,\ \tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\,を用いて\,\sin\,と\,\cos\,に変換する. \\[.8zh] 分母をはらった後,\ \bm{加法定理の逆}(※)によって簡潔な形にまとまる. \\[.2zh] 角の範囲を考慮すると,\ \cos\,が0になるA+Bの値が1つに定まる. \\[.2zh] もし角に範囲がなかった場合,\ \cdots\cdots,\ -\bunsuu32\pi,\ -\bunsuu{\pi}{2},\ \bunsuu{\pi}{2},\ \bunsuu32\pi,\ \cdots\cdots\,すべてが答えになる. \\[.8zh] よって,\ \bm{\bunsuu{\pi}{2}+n\pi\ (n:整数)}のように答えることになる. \\\\ ※\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\ は等式なので,\ 本質的に順や逆があるわけではない. \\[.2zh]  \ 受験数学では,\ →\,の変形が多いので,\ ←\,の変形を「逆」と呼ぶ場合がある. \\[.2zh]  \ 答案には単に「加法定理より」と書くのがよい. \\[.2zh]  \ なお,\ ←\,の変形は高校数学最大の盲点の1つである. \\[.2zh]  \ 今後何度か使う機会があるが,\ 相当に意識していないと気付くことができないだろう. \\[1zh] \tan A\tan B=1のとき,\ \tan(A+B)=\bunsuu{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\ の右辺の値は存在しない(分母0). \\[.8zh] \bm{\tan A\tan B=1は,\ A+B=\bunsuu{\pi}{2}\,のとき左辺の値が存在しないことと対応している}わけである. \\\\ 余角の公式\,\bm{\tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=\bunsuu{1}{\tan\theta}}\,を利用すると,\ 加法定理を使わずとも求められる(別解). \\[.8zh] このとき,\ \bm{\tan A=\tan B\ \Longleftrightarrow\ A=B+n\pi\ (n:整数)}\ (後に学習)を利用することになる. \\[.2zh] A=\bunsuu{\pi}{2}-B+n\pi\,となるがを満たすのはn=0のときだけである. \\[.8zh] どちらかといえば,\ \tan\,のまま処理する別解が正攻法である. 角の和を分割して両辺の\,\tan\,をとり,\ 加法定理と余角の公式を適用する. \\[.2zh] 分母をはらって整理すると与式が導かれる. \\[1zh] 本解を技巧的に感じるならば,\ 等式条件がある場合の基本である\bm{1文字消去}を行うとよい(別解). \\[.2zh] この場合も加法定理と余角の公式を利用することになる. \\[.2zh] ここではCを消去した.\ 複雑な左辺を変形していくと,\ 自動的に1になる. \triangle\mathRM{ABC}ということは,\ A+B+C=\pi\,が成り立つということであり,\ 後は(2)とほぼ同じである. \\[.2zh] 補角の公式\,\bm{\tan(\pi-\theta)=-\,\tan\theta}\,と加法定理を適用した後,\ 整理すればよい. \\[1zh] Cを消去する別解も示した(略解). \\[.2zh] 両辺ともに複雑なとき,\ 両辺を変形して同じ式を導くことが有効であった. \\[.5zh] (分子)=(\tan A+\tan B)(1-\tan A\tan B)-(\tan A+\tan B) \\[.2zh] \phantom{(分子)}=(\tan A+\tan B)\{(1-\tan A\tan B)-1\}=-\,(\tan A+\tan B)\tan A\tan B \alpha,\ \beta,\ \gamma\ は綺麗な角ではないので,\ 直接\ \alpha+\beta+\gamma\ を求めることはできない. \\[.2zh] そこで,\ 一旦\ \tan(\alpha+\beta+\gamma)\ を求めることを考える. \\[.2zh] \bm{3つの角の和の\,\tan\,は,\ 2段階で\,\tan\,の加法定理を適用して求められる.} \\[.2zh] 結局,\ \bm{\tan(\alpha+\beta+\gamma)=1}\ となるので,\ ここから\ \alpha+\beta+\gamma\ を求めればよい. \\[1zh] このとき,\ \bm{角の範囲を考慮する}必要がある. \\[.2zh] しかし,\ 結論から言えば,\ 本問の答えは\ \bunsuu54\pi\ のみである. \\[.8zh] 余計な\,\bunsuu{\pi}{4}\,まで求まってしまうのは,\ \bm{角の範囲の絞り込みが甘い}せいである. \\[.8zh] 実は,\ \bm{\tan\alpha,\ \tan\beta,\ \tan\gamma\ の値を考慮すると,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\,の範囲をより厳しく限定できる.} \\[.2zh] このとき基準となるのは,\ \tan30\Deg=\bunsuu{1}{\ruizyoukon3},\ \tan45\Deg=1,\ \tan60\Deg=\ruizyoukon3\ 等の有名角の値である. の範囲では単調増加関数である. \\[.8zh] よって,\ 角\ \theta\ が大きくなれば,\ \tan\theta\ の値も大きくなる. \\[.2zh] \tan\alpha,\ \tan\beta,\ \tan\gamma\ (=2,\ 5,\ 8)\ は,\ \tan60\Deg=\ruizyoukon3\kinzi1.7\ より大きい. \\[.2zh] これは,\ \bm{角\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\ が60\Deg=\bunsuu{\pi}{3}\ より大きい}ことを意味する. \\[.8zh] 結局,にまで範囲を絞ることができる. \\\\ 本問に限らず,\ 三角関数の値が与えられたとき,\ 角のおおよその大きさを常に意識する必要がある. \\[.2zh] \tan60\Deg\kinzi1.7を基準にすると,\ \alpha\kinzi65\Deg,\ \beta\kinzi70\Deg,\ \gamma\kinzi80\Deg より\,\alpha+\beta+\gamma\kinzi215\Deg\,程度と予想できる. triangle$ABCにおいて$\tan A,\ \tan B,\ \tan C$が全て整数であるとき,\ その3つの整数を求めよ. \\ A\leqq B\leqq C}$としても一般性を失わない. \\[.5zh]   $A+A+A\leqq A+B+C=\pi$より$3A\leqq\pi$,\ つまり$A\leqq\bunsuu{\pi}{3}$である. \\[.5zh] 8割方整数問題であり,\ 整数分野を十分に学習してきていなければ難しい. \\[1zh] 整数問題では,\ 文字に対称性があるとき,\ \bm{自分で大小関係を設定する}のが有効であった. \\[.2zh] さらに,\ \bm{すべての文字を最大数または最小数に置き換えてみる}のであった. \\[.2zh] 試しに,\ A+B+C=\pi\,においてA,\ Bを最大数Cに置き換えてみよう. \\[.2zh] \pi=A+B+C\leqq C+C+C=3Cより\,\bunsuu{\pi}{3}\leqq Cが導かれるが,\ これでは何もわからない. \\[.8zh] \bm{B,\ Cを最小数Aに置き換えてみる}と,\ 解答のようにAの範囲が絞られる. \\[.2zh] \tan\,の値の範囲も限定され,\ 整数であることも考慮して\,\tan Aの値が定まる. \\[1zh] \tan Aの値を利用して,\ 条件A+B+C=\pi\,からAを消去する. \\[.2zh] \bm{\tan(\pi-\theta)=-\,\tan\theta}\,を利用することになる. \\[.2zh] 加法定理を適用してできる式を満たす\,\tan B\,と\,\tan C\,の値を求めればよい. \\[.2zh] 分母をはらうと,\ \bm{xy+ax+by+c=0型の不定方程式}に帰着する. \\[.2zh] この型は,\ 両辺を積の形(x+b)(y+a)=ab-cに変形するのであった. \\[.2zh] 掛けて2になる整数の組を考えることになるが,\ \bm{先に各因数の範囲を考慮しておく}と楽になる. \\[.2zh] 角の大小関係と\,\tan A=1を考慮すると,\ (\tan B-1,\ \tan C-1)=(1,\ 2)しかありえない. \\[1zh] A\leqq B\leqq Cは自分で勝手に加えた条件なので,\ この条件を取り払ってから答える.
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