三角関数の加法定理の証明と応用

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加法定理に関しては、受験の世界で非常に有名な伝説が残っているので知っておくとよい。

\bm{\sin{(\alpha\pm\beta)}=\textcolor{red}{\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}}}$} \\[.5zh] {\large \maru2 $\bm{\cos{(\alpha\pm\beta)}=\textcolor{red}{\cos{\alpha}\cos{\beta}\mp\sin{\alpha}\sin{\beta}}}$} \\[.5zh] {\large \maru3 $\bm{\tan{(\alpha\pm\beta)}=\textcolor{red}{\bunsuu{\tan{\alpha}\pm\tan{\beta}}{1\mp\tan{\alpha}\tan{\beta}}}}$} \phantom{ (1)}\ \ 2点A,\ Bを原点Oの周りに$-\,\beta$回転した点をそれぞれA$’$,\ B$’$とする 様々ある加法定理の証明のうち,\ 本項では個人的に最も推奨するものを紹介する. \\[1zh] まず,\ 座標平面上に2点\text A(\cos\alpha,\ \sin\alpha),\ \text B(\cos\beta,\ \sin\beta)をとり,\ 線分\text{AB}の長さを求める. \\[.2zh] 三角関数の定義より,\ この2点は単位円周上の点であることに注意してほしい. \\[.2zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離の公式 \ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[.2zh] 実際には,\ 根号が鬱陶しいので\text{AB}^2\,を求める. \\[1zh] 次に,\ 点\text{B}を(1,\ 0)に移すため,\ 2点を原点を中心として-\beta\,回転移動する. \\[.2zh] このとき,\ 点\text Aの移動後の点\text{A}’の座標は(\cos(\alpha-\beta),\ \sin(\alpha-\beta))となる. \\[.2zh] \bm{線分\textbf{A}’\textbf{B}’の長さが線分\textbf{AB}の長さと等しい}ことを利用し,\ \cos(\alpha-\beta)\,の公式を示すことができる. \\[1zh] 教科書等では,\ \mathRM{A’B’}^2\,の代わりに\triangle\mathRM{OAB}に余弦定理を適用して\text{AB}^2\,を求めていることが多い. \\[.2zh] \triangle\mathRM{OAB}(左図)に余弦定理を適用すると  大して変わらないように思えるが,\ \triangle\mathRM{OAB}を持ち出すと,で考える必要が生じる. \\[.2zh] すると,\ 単純に\,\angle\mathRM{BOA}=\alpha-\beta\,とは限らなくなる. \\[.2zh] 例えば,\ \text A(\cos300\Deg,\ \sin300\Deg),\ \text B(\cos60\Deg,\ \sin60\Deg)であるとしよう. ただし,\ 以下のようにして\,\cos\,の値は結局\,\alpha-\beta\,と等しくなる. \\ 結局同じになるとはいえ余計な思考が要るので,\ 2点間の距離でとらえる証明を推奨するわけである \cos(\alpha-\beta)を元にして\,\cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha\pm\beta)\,の公式を証明することができる. \\[.2zh] \cos(\alpha+\beta)\,を証明するには,\ \cos\{\alpha-(-\,\beta)\}\,とみなして\,\cos(\alpha-\beta)\,の公式を適用する. \\[.2zh] \bm{\cos(\alpha-\beta)\,の公式の\,\beta\,を-\beta\,に置き換える}と考えてもよい. \\[1zh] \sin(\alpha+\beta)\,を証明するには,\ \bm{余角の公式\,\sin\theta=\cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)を利用する.} \\[.8zh] さらに,\ \cos\left\{\left(\bunsuu{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right\}とみなして\,\cos(\alpha-\beta)\,の公式を適用する. \\[.8zh] \bm{\cos(\alpha-\beta)\,の公式の\,\alpha\,を\,\bunsuu{\pi}{2}-\alpha\,に置き換える}と考えてもよい. \\\\ \tan(\alpha+\beta)\,の証明は,\ 公式\,\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\,を利用する. \\[.8zh] \sin,\ \cos\,の加法定理を適用した後,\ \bm{分母分子を\,\cos\alpha\cos\beta\,で割る}と証明できる. \\[1zh] \sin(\alpha-\beta),\ \tan(\alpha-\beta)\,は,\ \sin(\alpha+\beta),\ \tan(\alpha+\beta)\,の\,\beta\,を-\beta\,に置き換えると証明できる. \\[.2zh] なお,\ \tan(-\,\theta)=-\,\tan\theta\,である. \\[1zh] 加法定理は,\ 今後登場する2倍角,\ 3倍角,\ 半角,\ 和積,\ 積和すべての公式の元である. \\[.2zh] \bm{暗記必須}である.\ \ \alpha+\beta\,のほうさえ覚えれば,\ \bm{\alpha-\beta\,のほうは+と-を逆にする}だけである. \\[.2zh] 有名なゴロ合わせもあるが,\ 普通に「シン,\ コス,\ コス,\ シン」や「\text{sccs}」と覚えるほうが早い. 加法定理を用いて,\ 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\sin105\Deg$        (2)\ \ $\cos\bunsuu{11}{12}\pi$        (3)\ \ $\tan\bunsuu{\pi}{12}$ \\ 三角関数の値が既知である\bm{30\Deg,\ 45\Deg,\ 60\Deg,\ 90\Deg\,やその倍数の角の和・差で表す.} \\[.2zh] 加法定理を利用すると,\ 15\Deg,\ 75\Deg,\ 105\Deg\,など,\ \bm{15\Deg\,の倍数の三角関数の値を求められる.} \\[1zh] (1)\ \ 135\Deg-30\Deg\,や\,150\Deg-45\Deg\,と考えてもよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin45\Deg,\ \cos45\Deg,は\,\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\,ではなく\,\bunsuu{\ruizyoukon2}{2}\,として代入すると後の計算が楽になる. \\\\ (2)\ \ 度数法を卒業すべきとはいったが,\ 角の分割については度数法で考えた方がわかりやすい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \bunsuu{11}{12}\pi=\bunsuu{11}{12}\cdot180\Deg=165\Deg\ より,\ 120\Deg+45\Deg,\ つまり\,\bunsuu23\pi+\bunsuu14\pi\,とできる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 135\Deg+30\Deg,\ つまり\,\bunsuu34\pi+\bunsuu{1}{6}\pi\,としてもよい. \\[1zh] (3)\ \ \bunsuu{\pi}{12}=\bunsuu{180\Deg}{12}=15\Deg\ より,\ 60\Deg-45\Deg\,とした.\ \ 45\Deg-30\Deg=\bunsuu{\pi}{4}-\bunsuu{\pi}{6}\,としてもよい. \\[.8zh] \phantom{(3)}\ \ 加法定理を適用後,\ \bm{有理化}すると簡潔な形になる. 三角関数は,\ \sin,\ \cos,\ \tan のうち1つの値がわかれば,\ 相互関係により必ず他の2つの値も求まる. \\[.2zh]  \bm{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\ \ \tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta},\ \ 1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}} \\[.8zh] 2乗をはずすとき,\ \bm{角の範囲をもとに正負を決定する}のを忘れてはならない. \\[.2zh] 後は,\ 加法定理を適用して代入するだけである. の両辺を2乗すると$ 加法定理より,\ \cos\alpha\cos\beta\,と\,\sin\alpha\sin\beta\,の値を求めればよく,\ \bm{条件式を2乗する}ことになる. \\[.2zh] \bm{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\ \ \sin^2\beta+\cos^2\beta=1}\,を適用すると,\ \cos(\alpha+\beta)\,の値が求まる. \\[.2zh] \sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\ \bm{ではない}ので注意!!!

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