三角関数の加法定理

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加法定理は高校数学の最重要公式の1つであり,\ 絶対に忘れることは許されない. α+β\ のほうを暗記すれば,\ {α-β\ は間の+と-を全て逆にする}だけでよい. 「シン,\ コス,\ コス,\ シン」や「sccs}」などと工夫して,\ 完璧に暗記しよう. 三角比の値が既知なのは\ 30°,\ 45°,\ 60°\ やその倍数の角である. それを元に加法定理を用いると,\ {15°,\ 75°,\ 105°,\ 165°}\ などの三角比が求まる. 105°=90°+15°\ と考えても\ 15° の三角比がわからない. sin45°,\ cos45° は普通\ {1}{2}\ とするが,\ 後の計算を見据え,\ {2}{2}\ で代入した. ラジアンだとわかりにくいという場合,\ 一旦度数で考える. 加法定理を適用後,\ {有理化}すると簡潔な形になる. 三角比は,\ sin,\ cos,\ tan のうち1つの値から,\ 他の2つの値を求めることができる. これらの公式で必要となる三角比を全て求めてから,\ 加法定理を適用する. このとき,\ {角の範囲をもとに,\ 正負を決定する}のを忘れてはいけない. 2つの条件式の両辺を2乗して和をとると,\ 加法定理の形が表れる. このとき,\ {sin²α+cos²α=1,sin²β+cos²β=1}\ を適用する. sin²θ+cos²θ=1\ と混同し,\ sin²α+sin²β=1\ とする{間違いが多い}ので注意!!! 本問は,\ 経験がなければ気付くのは難しいだろう. {加法定理で逆にまとめるという変形}は,\ 多くはないがそれなりに使う機会がある. α,\ β,\ γ\ は綺麗な角ではないので,\ 直接\ α+β+γ\ を求めることはできない. そこで,\ まず\ tan(α+β+γ)\ を求める. {3つの角の和の三角比は,\ 2回加法定理を適用して求める.} 結局,\ {tan(α+β+γ)=1}\ となり,\ ここから\ α+β+γ\ を求めることになる. このとき,\ {角の範囲を最大限絞り込めるか}が問われる. 角の範囲を単純に考えると  は,\ 要は第1~3象限である. tanθ=1\ のとき,\ この範囲の\ θ\ は θ={π}{4},\ 54π\ の2つがある. 本解で示したように,\ 本問の解は\ 54π\ ただ1つである. この相違は,\ {角の範囲の絞り込みが甘かった}せいである. 程度の甘い範囲を元にしてはいけなかったのである. tanα,\ tanβ,\ tanγ\ の値から,\ α,\ β,\ γ\ の範囲をより厳しく限定できる. このとき基準となるのは,\ tan30°={1}{3},\ tan45°=1,\ tan60°=3\ 等である. y=tanθ\ は, の範囲では単調増加関数である. つまり,\ {角\ θ\ が大きくなれば,\ tanθ\ の値も大きくなる.} これは,\ {角\ α,\ β,\ γ\ が60°={π}{3}\ より大きい}ことを意味する. 結局,\ といえ,\ これを元に\ α+β+γ\ の範囲を求めればよい. すると,\ {α+β+γ\ は第3象限に限定され},\ ただ1つに定まることになる.
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