三角方程式・不等式⑤(三角関数の和積の公式)

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\cosθ+\cos3θ+\cos5θ=0$      (2)\ \ $\sinθ+\sin2θ+\sin3θ三角方程式・不等式⑤(和積の公式 方程式・不等式は,\ ( )( )=0}\ の形にすることが重要である. 同値変形により,\ 簡単な方程式・不等式に帰着させられるからである. もちろん,\ AB=0\ ⇔\ A=0\ または\ B=0}\ である. \sin,\ \cos\,の和は,\ 和→積の公式を用いて積の形に変形できる. 実際には,\ 共通因数ができるような組合せで和→積の公式を適用する.} 本問は,\ \cosθ\,と\cos5θ\,を組み合わせると,\ 共通因数\cos3θ\,ができる. 角が負になると余計な思考が必要になるので,\ \cos5θ+\cosθ\,として和→積の公式を適用するとよい.  \cos A+\cos B=2\cosA+B}{2}\cosA-B}{2 共通因数\cos3θ\,をくくり出すと,\ 2つの三角方程式に帰着するので,\ 角の範囲に注意して解く. 以前,\ \cos3θ+\cos2θ+\cosθ=0を3倍角の公式と2倍角の公式を用いて解く方法を示した. 本問と同様に和→積の公式を用いて解くこともできる. 4倍角以上の公式は高校範囲外なので,\ 和→積の公式を利用する解法のほうが汎用性が高いのである. \sin3θ+\sinθ\,の和→積の公式を適用すると,\ 共通因数\sin2θ\,ができる.  \sin A+\sin B=2\sinA+B}{2}\cosA-B}{2 因数分解した後 }を利用すればよい. すべてまとめて一気に答えを求めたいところだが,\ 2θ\,と\,θ\,が混在しているので単純にはいかない. \sin2θ\ \sin2θは0≦2θ≦2π,\ \cosθ-12,\ \cosθ<-12\,は0≦θ≦π\,の範囲で解く. 最後,\ まとめて答える.
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高校数学Ⅱ 三角関数
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