連立三角方程式(三角関数の相互関係、合成、加法定理の利用)

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連立方程式\ \begin{cases} \sin x+\cos y=1 \\[.2zh] \cos x+\sin y=\ruizyoukon3 {連立三角方程式} 本解が標準解法であり,\ \bm{\sin^2x+\cos^2x=1,\ \ \sin^2y+\cos^2y=1}も含めて連立する. \\[.2zh] 変数はx,\ yの2つだが,\ \bm{\sin x,\ \cos x,\ \sin y,\ \cos yの4変数の連立方程式}と考えて解くのである. \\[.2zh] 文字4つに対して式4つであるから,\ すべて特定できるはずである. \\[.2zh] 紛らわしいならば,\ 一旦\,\sin x=A,\ \ \cos x=B,\ \ \sin y=C,\ \ \cos y=D\,とおいて考えればよい. \\[.5zh]  \bm{A+D=1,\ \ B+C=\ruizyoukon3,\ \ A^2+B^2=1,\ \ C^2+D^2=1} \\[.2zh]  D=1-A,\ C=\ruizyoukon3-BをC^2+D^2=1に代入すると (3-2\ruizyoukon3+B^2)+(1-2A+A^2)=1 \\[.2zh]  A^2+B^2=1\ を適用して整理すると A+\ruizyoukon3 B=2 \\[.2zh]  これをさらにA^2+B^2=1と連立するとA,\ Bが求まる. \\[1zh] 一方だけでは解が2つ求まるので,\ \bm{\sin と\cos の値を両方求めた後でx,\ yの値を求める.} 以降,\ 三角関数の合成を利用}}\ \maru1の左辺がa\sin\theta+b\cos\theta\,の形なので,\ 合成することが可能である. \\[.2zh] すると,\ \maru1のみでxの値を求めることができる. \\[.2zh] 角x+\bunsuu{\pi}{3}\,の範囲を確認し,\ その範囲内で\sin が1になる角を考えればよい. 加法定理の逆を利用}}\,] \\[1zh]   与式の両辺をそれぞれ2乗すると \\[.2zh]    $\sin^2x+2\sin x\cos y+\cos^2y=1, \cos^2x+2\cos x\sin y+\sin^2y=3$ \\[1zh]   2式を足すと $2(\sin x\cos y+\cos x\sin y)=2$\ より $\textcolor{red}{\sin(x+y)=1}$ \\[1zh] 2乗して足した後,\ \sin^2x+\cos^2x=1,\ \sin^2y+\cos^2y=1を適用する. \\[.2zh] すると,\ 加法定理\,\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,の形が現れるので逆にまとめる. \\[.2zh] 角x+yの範囲に注意して解いた後,\ y=\bunsuu{\pi}{2}-x,\ \bunsuu52\pi-x\,として1文字消去する. \\[.8zh] \cos y=\cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)=\sin x, \sin y=\sin\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)=\cos x (余角の公式) \\[1zh] また,\ \bunsuu52\pi-x=2\pi+\left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)である. \\[.8zh] \cos(2\pi+\theta)=\cos\theta,\ \sin(2\pi+\theta)=\sin\theta\,なので,\ y=\bunsuu52\pi-x\,のときも結局同じになる.
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