三角方程式・不等式①(基本型)

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\sin\theta=k,\ \cos\theta=k,\ \tan\theta=k}}$の形の三角方程式・不等式を\textbf{基本型}と呼ぶことにする. \\[.2zh]  数Iの三角比分野で学習したとおり,\ 基本型は$\bm{\textcolor{red}{定義に基づいて図形的に解く}}$のであった. \\[1zh]  数I\hspace{-.2zw}Iの三角関数では,\ 角が単純な$\theta$でないものが多く登場する. \\[.2zh]  この場合,\まず角の範囲を確認し,\ その範囲内で解く}}$ことになる. \\\\ とりあえず両辺を2で割り,\ \sin の係数を1にすることにより基本型とする. \\[.2zh] さて,\ 実に多くの学生が安易に」と答えて\bm{間違える.} \\[.8zh] この間違いの原因は,\ と混同してしまったことにある. \\[.8zh] 本問は,\ \bm{\theta+\bunsuu23\pi\ の\sin が\,\bunsuu12\,となるときの\,\theta\,を求める問題}である. \\[.8zh] よって,\ \bm{角\,\theta+\bunsuu23\pi\,の範囲の中で \sin が\,\bunsuu12\,となる角を考えなければならない.} \\[1.5zh] 角\,\theta+\bunsuu23\pi\,の範囲は,\,の各辺に\,\bunsuu23\pi\,を足して求められる. \\[.8zh] このとき,\ 2\pi+\bunsuu23\pi=\bunsuu83\pi\ としてしまわないのがコツである. \\[.8zh] 2\pi+\bunsuu23\pi\ のままにしておけば,\ \bm{1周+\bunsuu23\pi}\,であることが瞬時にわかる. \\[1.5zh] まず,\ 角\,\theta+\bunsuu23\pi\,の範囲を矢印で図示する.\ \bunsuu23\pi\,から1周分である. \\[.8zh] 後は,\ y=\bunsuu12\,の直線を引き,\ これと単位円の交点までの回転角を考えればよい. \\[.8zh] 範囲は\,\bunsuu23\pi\,からなので,\ \bm{第1象限の交点までの回転角は\,\bunsuu{\pi}{6}\,ではなく1周してきた\,\bunsuu{13}{6}\pi\,である.} \\[.8zh] 結局,\ \bunsuu23\pi\ から\ 2\pi+\bunsuu23\pi\,の範囲内で\sin が\ \bunsuu12\ となるのは,\ 回転角が\,\bunsuu56\pi\,と\,\bunsuu{13}{6}\pi\,のときである. \\[.8zh] \bm{\theta+\bunsuu23\pi\ が\ \bunsuu56\pi,\ \bunsuu{13}{6}\pi}\ であり,\ \theta\,を求めて答えとする. 4\pi-\bunsuu{\pi}{3}\ は,\ -\bunsuu{\pi}{3}\ から2周した角である. \\[.8zh] -\bunsuu{\pi}{3}\ から\ 4\pi-\bunsuu{\pi}{3}\ の範囲で,\ \cos が\,\bunsuu{\ruizyoukon3}{2}\ 以上となる角の範囲を考える. \\[.8zh] -\bunsuu{\pi}{3}\ から始まり,\ \bm{1周目が-,まで,\ 2周目が\, 先に角2\theta-\bunsuu{\pi}{3}\,の範囲を確認しておかなければ,\ 0\leqq2\theta-\bunsuu{\pi}{3}\leqq\bunsuu{\pi}{6}\ などと間違える. \\[.8zh] \theta\ の範囲に変換するときは,\ まず各辺を+\bunsuu{\pi}{3}\ し,\ さらに各辺を2で割るとよい. -\bunsuu{\pi}{4}\ から\ 2\pi-\bunsuu{\pi}{4}\ の範囲で,\ \tan が\ \bunsuu{1}{\ruizyoukon3}\ 以下になる\,\theta-\bunsuu{\pi}{4}\,の範囲を考えることになる. \\[1zh] そもそも,\ 根本的に\tan の三角方程式の解き方が怪しい人が少なくない. \\[.2zh] 本項では,\ 最低限の基本を習得済みであることを前提として解説する. \\[.2zh] 必要ならば,\ 数\text Iの三角比分野で学習した三角方程式を復習してきてほしい. \\[1zh] \tan\theta\,の定義は,\ \bm{一般角\,\theta\,の動径と直線x=1の交点のy座標}であった. \\[.2zh] よって,\ \bm{直線x=1上のy\leqq\bunsuu{1}{\ruizyoukon3}\,の部分に対応する角の範囲}を考えればよい. \\[1zh] 結局,\ 図の赤色の部分となるが,\ -\bunsuu{\pi}{4}\,から2\pi-\bunsuu{\pi}{4}\,までの範囲で考えるから\bm{3分割}することになる. \\[.8zh] このとき,\ \bm{\bunsuu{\pi}{2}\,と\,\bunsuu32\pi\,の\tan\,の値は存在しない}ことに注意する(等号がつかない). \\[.8zh] さらに,\ 2\pi-\bunsuu{\pi}{4}\,も範囲外なので等号はつかない.
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