三角方程式・不等式①(基本形)

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permutation
基本形\ sinα=k,\ cosα=k,\ tanα=k}\ は,\ 定義に基づき図形的に解く.$}  ${角が単純な\ θ\ でない場合,\ まず角の範囲を確認し,\ その範囲内で求める.$ 両辺を2で割り,\ sin の係数を1にすると基本形となる. 最も注意すべきは,\ sinθ=12θ={π}{6},\ 56π\ と混同しないことである. つまり,\ 安易に\とするのは{誤り}である. 実際,\ -{π}{2}は,\ 問題の条件\ を満たさない. 本問は,\ {θ+23π\ のsin が12となる角を求める問題}である.\ 主役は\ θ+23π\ だ. ところが,\ θ\ の範囲のまま求めてしまったところに間違いの原因がある. {θ+23π\ の範囲のもとで,\ sin が12となる角を求める}必要がある. θ+23π\ の範囲を求める.\ このとき,\ 2π+23π\ は\ 83π\ にしないのがコツである. 23π\ から1周した角であることが瞬時にわかるからである. {角の範囲を明確に図示し,\ この範囲でsin が12となる角を考える.} 範囲は\ 23π\ から始まるから,\ {π}{6}\ は範囲外である. 結局,\ 23π\ から\ 83π\ の範囲内にあってsin が\ 12\ となるのは56π,\ {13}{6}πである. {θ+23π\ が\ 56π,\ {13}{6}π}\ なので,\ これを\ θ\ に直せば答えである. 2周した角である. -{π}{3}\ から\ 4π-{π}{3}\ の範囲で,\ cos が-{3}{2}\ 以上となる角の範囲を考える. -{π}{3}\ から始まり,\ 1周目が-{π}{6}\ から\ {π}{6},\ 2周目が{11}{6}π\ から\ {13}{6}π\ である. 本問も,\ 先に角の範囲を考慮しなければ,\ 0から{π}{6}\ などのような間違いを犯す. θ\ の範囲にするときは,\ まず各辺を+{π}{3}\ して,\ さらに各辺を2で割るとよい. -{π}{4}\ から\ 2π-{π}{4}\ の範囲で,\ tan が\ {1}{3}\ 以下になる範囲を考える. そもそも,\ 根本的にtan の三角方程式の解き方が怪しい人が少なくない. 本来,\ 数I}の三角比分野で習得済みのはずであるが,\ 再確認しておいてほしい. tan は,\ 図形的には{直線x=1上のy座標}である. よって,\ {直線x=1(y{1}{3})の部分に対応する角の範囲}を考えることになる. {直線x=1上の点および原点を通る直線と,\ 単位円との交点が対応する角}である. 結局,\ 図の赤色の部分となるが,\ 範囲は\ -{π}{4}\ から2π-{π}{4}\ なので3分割される. このとき,\ π}{2}\ と\ 32π\ のtan の値は存在しない}ことに注意する. さらに,\ 74π\ が範囲には含まれていないことにも注意する.
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