三角関数の最大・最小④(2次同次式)

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0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}$のとき,\ \ $y=3\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$の最大値と最小値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $x^2+y^2=1$のとき,\ $x^2+2xy+3y^2$の最大値と最小値を求めよ. \三角関数の最大・最小\maru4(2次同次式)}}}} \\\\[.5zh]  $yは,\ \bm{\textcolor{red}{\sin と\cos の2次の項(\sin^2{\theta},\ \sin{\theta}\cos{\theta},\ \cos^2{\theta})のみの式}}である.$ \\[.2zh]  このような式を$\bm{\textcolor{blue}{2次同次式}}という.$ \\\\  2次同次式のポイントは,\ 以下の2段階を踏んで変数$\theta$を1ヶ所に集めることである. \\[.8zh]  $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{2倍角の公式を逆に使って\underline{次数を下げる.}}} \\[.4zh]  $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{a\sin{2\theta}+b\cos{2\theta}}$}}の形ができるから,\ \textbf{\textcolor{cyan}{三角関数の合成}}で\textbf{\textcolor{red}{変数$\bm{\theta}$を1カ所に集める} 次数下げと合成により,\ \bm{\sin の最大・最小問題に帰着}する. \\[.2zh] 角2\theta-\bunsuu{\pi}{4}\,の範囲を確認した上で,\ \sin\hspace{-.2zw}\left(2\theta-\bunsuu{\pi}{4}\right)のとりうる値の範囲を考えればよい. x^2+y^2=1は円の方程式である.\ また,\ x^2+2xy+3y^2\,はx,\ yの2次同次式である. \\[.2zh] \bm{条件が円の2次同次式の最大・最小問題では,\ x=\cos\theta,\ y=\sin\theta\,の置換が有効である.} \\[.2zh] 以前,\ (\cos\theta,\ \sin\theta)を単位円周上の点(x,\ y)として三角方程式を解く方法を紹介した. \\[.2zh] 本項のパターンでは,\ 逆に\bm{単位円周上の点(x,\ y)を(\cos\theta,\ \sin\theta)とおく.} \\[.2zh] すると,\ \bm{\sin\theta\,と\,\cos\theta\,の2次同次式の最大・最小問題に帰着する.} \\[.2zh] 三角関数の定義より,\ 条件がx^2+y^2=r^2\,ならば,\ (x,\ y)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta)とおけるわけである. \\[1zh] 本問は,\ 置換すると(1)と同じ式になるので,\ 略解のみ示した. \\[.2zh] ただし,\ 角\,\theta\,に範囲はないので,\ \bm{\sin\hspace{-.2zw}\left(2\theta-\bunsuu{\pi}{4}\right)のとりうる値の範囲は-1から1まで}となる.
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