三角関数の三角形への応用④ オイラーの不等式R≧2rの証明

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本項の内容は上級者用です。また、前項の内容が理解できていることを前提としています。

式と証明分野で別証明を取り上げている。

complex-number-equality
三角形ABCの外接円の半径を$R$,\ 内接円の半径を$r$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\bunsuu rR=4\sin\bunsuu A2\sin\bunsuu B2\sin\bunsuu C2$が成り立つことを示せ. \\[1.2zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\bunsuu rR\leqq\bunsuu12$が成り立つことを示せ.\ また,\ 等号成立条件を求めよ.三角関数の三角形への応用\maru4 オイラーの不等式}$}}}} \\\\[.5zh]  本問は,\ 任意の三角形において成立する$\bm{\textcolor{red}{R\geqq2r}}$\ (\textbf{\textcolor{blue}{オイラーの不等式}})の証明である. \\[.2zh]  代表的な高校範囲の証明が3つあるが,\ どの証明も高難度である. \\[.2zh]  本項では,\ 3つのうちの三角比・三角関数を利用する証明を示す. \\\\\\  (1)\ \ 正弦定理より $\bunsuu{a}{\sin A}=\bunsuu{b}{\sin B}=\bunsuu{c}{\sin C}=2R$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\textcolor{red}{a=2R\sin A,\ b=2R\sin B,\ c=2R\sin C}$ \\\\ \phantom{ (1)}\ \ 三角形ABCの面積を$S$とすると rとRを角A,\ B,\ Cで表すのが目標である. \\[.2zh] \bm{正弦定理で辺の長さa,\ b,\ cをA,\ B,\ C,\ Rで表した後,\ 面積を2通りに表す}とよい. \\[1zh] \bunsuu rR\,がA,\ B,\ Cで表されるので,\ 分母を積の形に変形する. \\[.8zh] 等式\,\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\bunsuu A2\cos\bunsuu B2\cos\bunsuu C2\,の証明は以前取り上げたが,\ 再び示した. \\[.8zh] \bm{和→積の公式}を適用した後,\ \bm{A+B+C=\pi}\,を用いてA+Bを消去する. \\[.2zh] さらに,\ 余角の公式\に\bm{2倍角の公式\,\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\,を適用して角を\,\bunsuu C2\,に統一する.} \\[.8zh] \cos\bunsuu C2\,をくくりだした後,\ A+B+C=\pi\,を用いてCを消去し,\ 再び\bm{余角の公式}を適用する. \\[.8zh] 最後,\ \bunsuu{A+B}{2}=C,\ \bunsuu{A-B}{2}=Dとして,\ 次の\bm{和→積の公式}を適用すると示される. \\[.8zh]  \bm{\cos C+\cos D=2\cos\bunsuu{C+D}{2}\cos\bunsuu{C-D}{2}} \\\\ 後は,\ \bunsuu rR\,の\bm{分子に2倍角の公式を適用して角を\,\bunsuu A2,\ \bunsuu B2,\ \bunsuu C2\,に統一}し,\ 約分すればよい. 結局は,\ 角A,\ B,\ Cの\sin の積の最大を求めればよい. \\[.2zh] ほぼ同じ問題を前項で取り扱ったので,\ ここでは簡単な解説に留める. \\[.2zh] \bm{積→和の公式}を適用した後に\bm{A+B+C=\pi}\,を用いてA+Bを消去する. \\[.2zh] また,\ 余角の公式\,\cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta\,も適用する. \\[.8zh] \bm{Cを固定して(定数とみて)考える}と,\ \sin\bunsuu C2>0より,\ \cos\bunsuu{A-B}{2}=1のときに最大となる. \\[.8zh] 後は\,\sin\bunsuu C2\,についての2次関数の最大を求めればよい. \\\\ 凸不等式と相加相乗を利用する別解も簡単に示しておく. \\[.5zh]
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