本項の内容は上級者用です。また、前項の内容が理解できていることを前提としています。
式と証明分野で別証明を取り上げている。
三角形ABCの外接円の半径を$R$,\ 内接円の半径を$r$とする.
(1)\ \ $ rR=4\sin A2\sin B2\sin C2$が成り立つことを示せ.
(2)\ \ $ rR≦12$が成り立つことを示せ.\ また,\ 等号成立条件を求めよ.三角関数の三角形への応用④ オイラーの不等式}$ \\
本問は,\ 任意の三角形において成立する$R≧2r$\ (オイラーの不等式)の証明である.
代表的な高校範囲の証明が3つあるが,\ どの証明も高難度である.
本項では,\ 3つのうちの三角比・三角関数を利用する証明を示す.
(1)\ \ 正弦定理より $a}{\sin A}=b}{\sin B}=c}{\sin C}=2R$
よって $a=2R\sin A,\ b=2R\sin B,\ c=2R\sin C}$
三角形ABCの面積を$S$とすると
rとRを角A,\ B,\ Cで表すのが目標である.
正弦定理で辺の長さa,\ b,\ cをA,\ B,\ C,\ Rで表した後,\ 面積を2通りに表す}とよい.
rR\,がA,\ B,\ Cで表されるので,\ 分母を積の形に変形する.
等式\,\sin A+\sin B+\sin C=4\cos A2\cos B2\cos C2\,の証明は以前取り上げたが,\ 再び示した.
和→積の公式}を適用した後,\ A+B+C=π}\,を用いてA+Bを消去する.
さらに,\ 余角の公式\に2倍角の公式\,\sin2θ=2\sinθ\cosθ\,を適用して角を\, C2\,に統一する.}
\cos C2\,をくくりだした後,\ A+B+C=π\,を用いてCを消去し,\ 再び余角の公式}を適用する.
最後,\ A+B}{2}=C,\ A-B}{2}=Dとして,\ 次の和→積の公式}を適用すると示される.
\cos C+\cos D=2\cosC+D}{2}\cosC-D}{2
後は,\ rR\,の分子に2倍角の公式を適用して角を\, A2,\ B2,\ C2\,に統一}し,\ 約分すればよい.
結局は,\ 角A,\ B,\ Cの\sin の積の最大を求めればよい.
ほぼ同じ問題を前項で取り扱ったので,\ ここでは簡単な解説に留める.
積→和の公式}を適用した後にA+B+C=π}\,を用いてA+Bを消去する.
また,\ 余角の公式\,\cos-.2zw}π}{2}-θ=\sinθ\,も適用する.
Cを固定して(定数とみて)考える}と,\ \sin C2>0より,\ \cosA-B}{2}=1のときに最大となる.
後は\,\sin C2\,についての2次関数の最大を求めればよい.
凸不等式と相加相乗を利用する別解も簡単に示しておく.
