2直線のなす角と正接(tan)の加法定理

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交わる2直線\ y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\ のなす角を\ \theta\ とする.$ 2直線のなす角\ \theta\ というと,\ 普通\bm{鋭角}を意味する. \\[.2zh] 直線は平行移動で傾きが変化しないので,\ 交点が原点となるように平行移動して考える. \\[1zh] 原点で交わる2直線y=m_1x,\ y=m_2xのx軸の正方向となす角を\ \alpha,\ \beta\ とする. の場合を考えると,\ 上左図の場合,\ 鋭角\ \theta=\alpha-\beta\ である. \\[.2zh] また,\ 上右図では\,\alpha-\beta\,が鈍角となるから,\ 鋭角\ \theta=\pi-(\alpha-\beta)\ である. \\[.2zh] さらに,\ \alpha<\beta\ のとき,\ 鋭角\ \theta=\beta-\alpha\ または\ \theta=\pi-(\beta-\alpha)\ である. \\[.2zh] つまり,\ 2直線の位置関係と設定次第で,\ 鋭角\ \theta\ の表現は4パターンありえる. \\[.2zh] 問題ごとに4パターンのどれであるかを考えたり,\ 場合分けしたりするのは非常に面倒である. \\[1zh] ここで,\ \bm{4通りの\,\theta\,の\,\tan\,を考える.}\ \ \bm{\tan\theta=\tan(\alpha-\beta)}\ を基準とする. が鋭角のとき\,\tan\theta\,は正である. \\[.2zh] よって,\ \theta\,の表現がどの場合であれ,\ \tan(\alpha-\beta)\,の値を正にしたものが\,\tan\theta\,であるといえる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{2直線の位置関係と設定によらず,\ \zettaiti{\tan(\alpha-\beta)}\ を計算すれば済む}というわけである. \\[1zh] これに加法定理\ \tan(\alpha-\beta)=\bunsuu{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\ を適用する. \\[.8zh] さらに,\ \bm{\tan\alpha=m_1,\ \tan\beta=m_2}\,であることから,\ 上の公式が得られる. \\[.2zh] なお,\ 傾きm=\tan\theta\,であることは数\text{I}の三角比分野で学習済みである. \\[1zh] 実用上は,\ 以下の点に注意する必要がある. \\[.2zh] (分母)=1+m_1m_2=0,\ つまり\ \bm{m_1m_2=-\,1\ のとき,\ \tan\theta\,の公式は適用できない.} \\[.2zh] m_1m_2=-\,1は,\ \bm{2直線の垂直条件}であった(数\text{I\hspace{-.2zw}I}:図形と方程式で学習済み). \\[1zh] \bm{座標平面上の2直線のなす角を扱う場合,\ \tan\,でとらえる}のが基本である. \\[.2zh] 余弦定理やベクトルの内積でとらえる方法もあるが,\ 2乗や根号のせいで扱いが面倒になりやすい. (1)\ \ 2直線が直交しないことを確認した上で公式を適用すればよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 教科書や参考書では,\ \tan\theta=\zettaiti{\bunsuu{m_1-m_2}{1+m_1m_2}}\ を公式としていないことが多い. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ この場合,\ \tan\alpha\,と\,\tan\beta\,から加法定理を用いて求めることになる(別解). \\[1zh] (2)\ \ 直線の傾きをmとおいて公式を適用した後,\ 次を利用すればよい. ,の角をなす直線には,\ +\bunsuu{\pi}{3}\,回転したものと-\bunsuu{\pi}{3}\,回転したものがあることに注意する.
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