三角関数の2倍角の公式・半角の公式とその導出

double-angle-formula
加法定理において\ β\ →\ α\ }として導かれる. いずれも加法定理さえ覚えておけば,\ 導くのは容易である. しかし,\ {超頻出公式}なので,\ いちいち加法定理から導いている場合ではない. 公式として{丸暗記必須}である.\ 普通に学習を進めていけば,\ 嫌でも覚えるだろう. 特に,\ {cos2α\ は,\ 3通りの表現を全て丸暗記}しておくべきである. さらに,\ の\ cos2α\ の公式を,\ sin²α,\ cos²α\ について解くとが得られる. の形で公式を適用することも多い. {三角関数の次数を2次から1次に下げる}ためである. 場合によっては,\ 角を2倍にしてでも,\ 次数を低くする必要があるのである. よって,\ {素早く次数を下げるために,\ の形でも暗記}しておくことを推奨する. また,\ 次に示すように,\ の形は実質半角の公式でもある. {2倍角の公式の\ α\ を\ {α}{2}\ として得られる.} よって,\ の形で暗記していれば,\ 半角の公式はほぼ暗記する必要はない. また,\ {半角の公式よりも,\ の形で使うことの方が圧倒的に多い.} それゆえ,\ の形で2倍角の公式を暗記することを推奨するわけである. 半角の公式は,\ いずれも{2乗がつくことを忘れやすい}ので要注意である. おまけ程度だが,\ 半角の公式は次のような使い方もあることを知っておこう. 1-cosα},{1+cosα}\ の根号をはずす}ことができる. 67.5°2=135°}\ に着目し,\ 半角の公式を適用する. \ {α}{2}=67.5°\ と考えることになるから,\ α=135°\ である. \ このとき,\ {一旦2乗する}必要があるので注意する. \ {cos67.5°\ の正負を確認}した上で,\ 2乗をはずす.\ なお,\ 67.5°=38π\ である. \ π}{8}2={π}{4\ に着目し,\ 半角の公式を適用する. \ 結果論だが,\ {2}{2}\ よりも\ {1}{2}\ とするほうが楽である. \ {有理化}するとき,\ 分子を2乗をすることになるが,\ これを{展開しない}でおく. \ なお,\ {π}{8}=22.5°\ である. { $[l} 角の範囲に注意しながら\ cosθ\ の値を求めれば,\ 後は公式に代入するだけである. cos2θ\ は3通りの表現を使えるが,\ 問題で与えられた値を使うのが最も安全である. また,\ tan2θ\ だけを求めたいならば,\ 別解のように計算することになる. 半角の公式を用いているために,\ 一旦2乗を考える. 2乗をはずすために,\ {θ\ の範囲から\ {θ}{2}\ の範囲を求める}必要がある. tan{θ}{2}\ だけを求めたい場合,\ 別解のように計算する.
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