証明は容易で,\ \bm{加法定理において\ \beta\ →\ \alpha\ }とするだけである. \bm{利用機会が極めて多い}ので,\ 毎回加法定理から導くというのは推奨されない. \\[.2zh] 問題演習する中で自然に覚えてしまうのが理想だが,\ それが無理ならば丸暗記したほうがよい. \\[.2zh] 特に,\ \bm{\cos2\alpha\,の公式は,\ 3通りの表現を全て丸暗記}しておくべきである. \\[.2zh] 丸暗記とはいっても,\ \bm{導き方を理解した上での暗記}であることに注意してほしい. \\ \maru4の形で2倍角の公式を利用することも少なくない. \\[.2zh] \maru4により,\ \bm{三角関数の次数を2次から1次に下げる}ことができる. \\[.2zh] 場合によっては,\ 角を2倍にしてでも次数を低くする必要があるのである. \\[.2zh] \bm{素早く次数を下げるために,\ \maru4の形でも暗記}しておくことが望ましい. \\[.2zh] また,\ 以下で示すように,\ \maru4は実質半角の公式でもある. \bm{[1]\ 2倍角の公式\maru4において,\ \alpha\ →\ \bunsuu{\alpha}{2}\ と変換すると得られる.} \\[.8zh] よって,\ [1]\,\maru4の形で暗記していれば,\ 半角の公式はほぼ暗記する必要はない. \\[.2zh] また,\ \bm{半角の公式よりも[1]\,\maru4の形で利用することの方が多い.} \\[.2zh] それゆえ,\ [1]\,\maru4の形でも暗記しておくことを推奨したわけである. \\[.2zh] 半角の公式は,\ いずれも\bm{2乗がつくことを忘れやすい}ので要注意である. \\[1zh] 半角の公式の応用として,\ \bm{\ruizyoukon{1-\cos\alpha},\ \ \ruizyoukon{1+\cos\alpha}\ の根号をはずす}ことができる. (1)\ \ 2倍すると綺麗な角になる場合,\ 半角の公式を利用して三角関数の値を求めることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{67.5\Deg\times2=135\Deg}\,に着目し,\ \cos^2\bunsuu{\alpha}{2}=\bunsuu{1+\cos\alpha}{2}\,を適用する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu{\alpha}{2}=67.5\Deg\,と考えることになるから,\ \alpha=135\Deg\,である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \bm{一旦2乗する}必要がある.\ \bm{\cos67.5\Deg\,の正負を確認}した上で2乗をはずす.\ \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 67.5\Deg\,は第1象限の角であるから,\ その\,\cos\,は正である.\ なお,\ 67.5\Deg=\bunsuu38\pi\ である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \cos^2\alpha=\bunsuu{1+\cos2\alpha}{2}\,において\,\alpha=67.5\Deg\,とすると考えてもよい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{\bunsuu{\pi}{8}\times2=\bunsuu{\pi}{4}}\ に着目し,\ \tan^2\bunsuu{\alpha}{2}=\bunsuu{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\,を適用する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{有理化}するとき分子を2乗をすることになるが,\ これを展開する必要はない.\\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 安易に\ruizyoukon{(\ruizyoukon2-1)^2}=\ruizyoukon2-1\,としてはならないことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ \ruizyoukon{A^2}=\zettaiti Aであるから,\ \ruizyoukon{(\ruizyoukon2-1)^2}=\zettaiti{\ruizyoukon2-1}\,である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ \zettaiti Aは,\ A\geqq0のときA,\ A\leqq0のとき-Aとなるのであった.\ \ なお,\ \bunsuu{\pi}{8}=22.5\Deg\ である. 角の範囲に注意して\ \cos\theta\ の値を求めると,\ 後は2倍角の公式に代入するだけである. \\[.2zh] \cos2\theta\ は3通りの表現があるが,\ 問題で与えられた\,\sin\theta\,で求まるものを利用するのが安全である. \\[.2zh] \cos\theta\,の値が万が一間違っていると,\ \cos2\theta\,の値も間違えてしまうからである. \\[.2zh] \tan2\theta\ だけを求めたいならば,\ 別解のように計算することになる. \\[1zh] \cos2\theta\,を\,\sin^22\theta+\cos^22\theta=1\,を利用して\,\sin2\theta\,から求めることも可能だが推奨されない. \\[.2zh] 2乗の計算が面倒になるだけでなく,\ 2乗をはずすときに正負の判断をより慎重に行う必要が生じる. \\[.2zh] 実際に求めてみよう より厳しく角の範囲を限定しなければ,\ \cos2\theta\,の正負を判断することができない. より\,\cos2\thetaであるから,\ \cos2\theta=\bunsuu{7}{25}\,となる.一旦2乗して半角の公式を利用する. \\[.2zh] 2乗をはずすとき,\ \bm{\bunsuu{\theta}{2}\,の範囲を求めて正負を判断する}必要がある. \\[.8zh] \tan\bunsuu{\theta}{2}\,のみを求めればよい場合,\ 別解のように計算する.
