本項の内容は上級者用で、数B：数列が学習済みであることを前提としています。
チェビシェフの多項式$T_n(x),\ U_n(x)$\ (前項で学習)に対して以下の性質が成り立つ.
以下に[1]と[2]の証明をそれぞれ示す.
天下り的な証明だが,\ よく理解してできるようにしておいてほしい. のとき$\cosθ$は単調減少するから,\ ①は異なる$n$個の解である.
$n$次方程式$T_n(x)=0$の実数解は最大でも$n$個なので,\ ①が解のすべて}である. のとき$\cosθ$は単調減少するから,\ ②は異なる$n-1$個の解である.
$n-1$次方程式$U_n(x)=0$の実数解は最大でも$n-1$個なので,\ ②が解のすべて}である. \
まずの範囲にあるt_n(x)=0の解を求める}ことを考える.=”” このとき,と置換し,\=”” θ\,についての方程式に変換する}ことができる.=”” 前項よりt_n(\cosθ)=”\cos” nθ}\,であったから,\=”” \cos=”” nθ=”0を解くことになる.” 範囲に注意して\,θ\,を求めると,\=”” x=”\cosθ\,よりxも求められる.” つまり,\=”” -\,1≦=”” x≦1の範囲に異なるn個の解をもつ}とわかる.=”” n次方程式がn+1個以上の解をもつことはないから,\=”” これですべての解が求まったことになる.=”” x≦-\,1,\=”” 1≦=”” xの範囲を考えるまでもなく,\=”” すべての解が-10である.
よって,\ \cosπ}{10}\,の値は\ √{10±2√5{4}\,のどちらかである. \,であることも考慮すると確定する.
本問の本質は,\ T_5(x)=0の解とT_5(\cosθ)=\cos5θ=0の解の比較}にある.
まず,\ T_5(x)=0を普通にxの5次方程式として解くと,\ 5個の解を求められる.
一方,\ 最初に示したようにx=\cosθ\,として解くこともできるのであった.
n=5のとき,\ 5個の解\cos67π$は$8x^3+4x^2-4x-1=0$の異なる3解}である.
3次方程式の解と係数の関係}より
まず,\ T_4(x)=T_3(x)をxの方程式として解くことを考える.
しかし,\ 8x^3+4x^2-4x-1=0が因数分解できず,\ x=1以外の解を求めることは困難である.
一方,\ x=\cosθ\,として解いてみると,\ 範囲の3つの解が求められる. cosA=cosB (n:整数)}を利用した.=”” 和積の公式を用いて=”” 3つは異なる解であり,\=”” かつ=”1ではないので,\” 8x^3+4x^2-4x-1=”0の3解}のはずである.” 3次方程式の3解の和と積は,\=”” 解と係数の関係}で求められるのであった.=””=”” 3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=”0の3解を\,α,\” β,\=”” γ\,とすると=”” \の範囲の3つの解が求められる.の範囲で求まったわけである.
