放物線の直交する2本の接線の交点の軌跡(放物線の準線)

orthogonal-tangent

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放物線\ $y=x²$\ 上の異なる2点A,\ Bにおける2本の接線が直交する. このとき,\ 2本の接線の交点の軌跡を求めよ.  よって,\ 点Aにおける接線の方程式は   同様に,\ 点Bにおける接線の方程式は   この$2本の接線は直交するから  よって,\ 2本の接線の交点を$(X,\ Y)$ の異なる2解}である.$  これは,\ 全ての実数$X$について成立}求める軌跡は,\ {直線\ y=-14} 2つの接点を文字でおき,\ 接線の方程式を求める. 2直線\が直交する条件は  2本の接線の交点の座標は,\ 当然連立方程式を解いて求める. これはよく出てくるので暗記しておくとよい. 特に,\ {x座標がaの値によらず,\ 常に\ α\ と\ β\ の中点になる}ことは要暗記. (x,\ y)のままでもよいが,\ 軌跡上の動点を意識するため,\ 満たすような点(X,\ Y)の集合が求める軌跡である. α,\ β\ が直交条件を満たしながら変化するとき,\ 点(X,\ Y)が描く図形ともいえる. 軌跡は,\ Y=-14より,\ y座標が常に-14の直線である. 後は,\ 軌跡の限界を調べるため,\ x座標が取りうる値の範囲を確認する. X={α+β}{2}より,\ α+β\ (=2X)\ が取りうる範囲を考えることになる. {直交条件\ αβ=-14\ のもとで,\ α+β\ (=2X)\ が取りうる値の範囲を考える.} これは,\ 次のように考えて求めるのが普通である. を満たす2実数\ α,\ β\ が存在するようなXの範囲を求める.} 本問の場合,\ αβ\ であるから,\ {異なる2実数\ α,\ β\ の存在条件}に帰着する. α+β,\ αβ\ は基本対称式である. {基本対称式をなす2文字の実数存在条件は,\ 2次方程式を作成して考える.} α,\ β\ を2解とする2次方程式の1つは,\ (t-α)(t-β)=0\ である. これを展開して,\ 解と係数の関係を逆に使ったと考えることもできる. この2次方程式が異なる2実数解\ α,\ β\ をもつ条件は,\ Dである. ここから,\ 条件を満たす(α,\ β\ が存在するような)Xの範囲が求まるのである. {Xの値によらずDなので,\ Xの範囲は限定されず,\ 軌跡は直線全てとなる.} 一般に,\ 放物線y={1}{4p}x²の2本の直交する接線の交点の軌跡は,\ y=-pとなる. この直線は放物線の{準線}と呼ばれるもので,\ 詳しくは数III}で学習する. 微分を使わない}]  2本の接線の交点を$の接線が$x$軸に垂直になることはない.}  よって,\ 傾きを$m$とすると,\ 点$(X,\ Y)$を通る接線の方程式は  さらに,\ $m$の2次方程式が2つの異なる実数解をもつ条件は  このとき,\ の異なる2つの実数解を${解と係数の関係  また,\ 2本の接線は直交するから 全ての実数Xについて成立}する.$ {交点を通る直線が放物線と接する}と考えて,\ 点(X,\ Y)が満たす条件を追求する. 直線を基本形で設定する場合,\ x軸と垂直になる可能性の吟味を要する. 点(x₁,\ y₁)を通る傾きmの直線は {y-y₁=m(x-x₁)} 直線と放物線が接する条件は,\ 連立してD=0である. mは接線の傾きなので,\ {mの2次方程式の解は,\ 2本の接線の傾き}を意味する. ここで,\ {接点が異なれば,\ 接線の傾きも異なる}はずである. よって,\ 題意を満たすには,\ {は2つの異なる実数解をもたなければならない.} ゆえに,\ さらに{の判別式いう条件を立てることになる. これにより,\ {2本の接線の存在条件が,\ 点(X,\ Y)の条件に変換される.} さらに,\ 2本の接線の直交条件を点(X,\ Y)の条件に変換する. {解と係数の関係}を用いると,\ 2本の接線の傾きの積が4Yとなる. これが-1であることが,\ 2本の接線の直交条件である. \ かつ\ Y=-14\ を満たす点(X,\ Y)の集合}が求める軌跡である. ここで,\ {Y=-14\ のとき,は自動的に成立する.} よって,\ {Xの範囲は限定されず,\ 結局\ Y=-14\ 全体が軌跡となる.}
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