次の4次関数が極大値をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
(1)\ \ $f(x)=x^4-2(a-1)x^3+2a^2x^2$ (2)\ \ $f(x)=x^4-2ax^3+a^2x$ \\
{4次関数が極大値をもつ条件 \\
まず,\ 一般の関数$y$が$x=α$で極大値をもつための条件を確認する.
それは,\ $x=α}$を境に$y’}$の符号が正から負に変わることである.
さて,\ $x^4$の係数が正}である4次関数$f(x)$が極大値をもつための条件を考えよう.
$f'(x)$は$x^3$の係数が正である3次関数}となる.
$f'(x)}$の符号が$x=α}$を境に正から負に変われば,\ 4次関数$f(x)}$が$x=α}$で極大となる.
どのような場合に3次関数$f'(x)$の符号が正から負に変わるかをグラフを用いて考える.
$x$軸との共有点の個数により,\ 3次関数($x^3$の係数が正)のグラフは3通りに分類される.
[1]\ \ $y=f'(x)$が$x$軸と異なる3個の共有点}をもつ
[2]\ \ $y=f'(x)$が$x$軸と異なる2個の共有点(1個は接点)}をもつ
[3]\ \ $y=f'(x)$が$x$軸とただ1個の共有点}をもつ \\
この中で,\ $f'(x)$のグラフが正から負に変わる点は,\ [1]\,の$x=α}$のみである.
結局,\ 4次関数$f(x)}$\ ($x^4}$の係数が正)が極大値をもつ条件が以下となる.
3次方程式$f'(x)=0}$が異なる3個の実数解をもつ.
ついでに4次関数$f(x)$\ ($x^4$の係数が正)の極小値についても確認しておく.
3次関数($x^3$の係数が正)は,\ 負から正に変わる点を少なくとも1つもつ.
それに応じて1,\ 4次関数($x^4}$の係数が正)は少なくとも1つの極小値をもつ.
[1]\,の場合は極小値2個,\ \ [2],\ [3]\,の場合は極小値1個である
f'(x)=0が因数分解できるならば,\ 異なる3個の実数解をもつ条件は容易に求められる.
因数分解により,\ 必ずx=0を解にもつことがわかる.
よって,\ 2次方程式①がx=0以外の異なる2個の実数解をもつ条件を考えることになる.
当然,\ 判別式を用いる.\ ここからx=0を解にもつ場合を除外}して最終的な答えとする.
f(x)$が極大値をもつための条件は,\ $f'(x)=0$が異なる3個の実数解をもつことである.}
本問のf'(x)=0は因数分解できない.
そこで,\ 極値の積に着目}して3次方程式f'(x)=0の実数解の個数を考える.
この発想は3次方程式の実数解の個数の項目で説明済みだが,\ 簡単に復習する.
x^3\,の係数が正である3次関数f'(x)がx=α\,で極大,\ x=β\,で極小をとるとする.
(極大値)>0\ かつ\ (極小値)<0であれば,\ x軸と3点で交わる.
一方が正で他方が負という条件は,\ 積が負と考えると1つの式で表せる.
結局,\ 3次方程式f'(x)=0が異なる3個の実数解をもつ条件はf'(α)f'(β)<0}となる.
f'(x)のグラフの極値を考えることになるので,\ f'(x)を微分してf''(x)を求める}必要がある.
f''(x)は数III}で学習する表現なので,\ 気になる人はf'(x)をg(x)とおき,\ g'(x)とすればよい.
極値の積を考える前提としてそもそもf'(x)が極値をもつ必要があるので,\ まずその条件を確認する.
3次関数f'(x)が極値をもつ条件は,\ 2次方程式f''(x)=0が異なる2個の実数解をもつ}である.
f''(x)=0の解はx=0,\ aであるから,\ f'(x)が極値をもつための条件はa≠0となる.
後は,\ f'(x)=0が異なる3個の実数解をもつ条件f'(0)f'(a)<0}を求めればよい.
積を考えることで,\ 0とaのどちらで極大になるかを気にしなくてよくなるというメリットもある.
5次不等式a^2(-\,2a^3+a^2)=a^4(-\,2a+1)<0となるが,\ a≠0のときa^4≠0である.
よって,\ 両辺をa^4\,で割ってよく,\ 結局1次不等式-2a+1<0となる. \\[-25zh]
