半径1の球に直円錐が内接している. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 円錐の体積$V$の最大値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 円錐の側面積$S$の最大値を求めよ. \\ 球に内接する直円錐の体積・側面積の最大値}}}} \\\\ (1)\ \ 円錐の高さを$h$とすると 底面の円の半径の2乗は 図形問題では,\ 問題で設定されていなければ,\ 自分で文字を設定して立式する必要がある. \\[.2zh] 球に内接する円錐の体積を考えるとき,\ \bm{円錐の高さを文字でおく}のが正解である. \\[.2zh] 円錐の体積の場合,\ 底面の円の半径をrとおいて立式するのが自然に思える. \\[.2zh] しかし,\ 実際に計算してみると,\ \mathRM{OH=\ruizyoukon{BO^2-BH^2}=\ruizyoukon{1-r^2}\ より,\ AH=1+\ruizyoukon{1-r^2}}\ となる. \\[.2zh] すると,\ 円錐の体積が\ \bunsuu13\pi r^2(1+\ruizyoukon{1-r^2}\,)\ という扱いづらい関数になってしまう. \\\\ 高さを文字でおいて立式すると,\ 体積は3次関数となるので数\text{I\hspace{-.1em}I}の範囲で容易に最大を求められる. \\[.2zh] また,\ 図形問題では常に\bm{設定した文字の範囲を確認する}必要がある. \\[.2zh] 高さhは球の直径よりも短いから,\である. \\[1zh] \mathRM{OH}=h-1なので,\ 三平方の定理より \mathRM{BH^2=OB^2-OH^2=1^2-(h-1)^2=2h-h^2} \\[.2zh] 円錐の体積は,\ \bm{(底面積)\times(高さ)\times\bunsuu13}\,である. \\[.8zh] 底面積を求めるときに半径はどうせ2乗するので,\ \ruizyoukon{2h-h^2}とする必要はない. \\[.2zh] 直円錐の側面積の公式は,\ \bm{\pi\times(底面の円の半径)\times(母線の長さ)}\ である. \\[.2zh] 三平方の定理より,\ 母線の長さは \mathRM{AB=\ruizyoukon{AH^2+BH^2}=\ruizyoukon{h^2+(2h-h^2)}=\ruizyoukon{2h}} \\[.2zh] 側面積Sが\ruizyoukon{ }の形になるので,\ このままの形で最大を求めることはできない. \\[.2zh] 中身の最大が\ruizyoukon{ }の最大であるから,\ \bm{中身の3次関数を取り出して最大を求めればよい.} \\[.2zh] sの最大値\,\bunsuu{64}{27}\,より,\ Sの最大値は\ 直円錐の側面積の公式の導出を確認しておく. \\[.2zh] 展開図において,\ (扇形の弧長)=(円周の長さ)より \\[.2zh] 2\pi r=\ell\theta よって \theta=\bunsuu{2\pi r}{\ell} \\[1zh] (円錐の側面積)=(扇形の面積)
