3次関数のグラフが変曲点に関して対称であることの証明(3次関数のグラフの点対称性)

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a,\ b,\ c,\ d$を実数とし,\ 3次関数を$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $y=f(x)$上の2点A($\alpha,\ f(\alpha)$),\ B($\beta,\ f(\beta)$)\ ($\alpha\neqq\beta$)における接線が平行である \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ とき,\ 線分ABの中点Mは定点であり,\ かつ$y=f(x)$上にあることを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $y=f(x)$のグラフが点Mに関して点対称であることを示せ. \\ 3次関数のグラフの点対称性 接線が並行ということは,\ \bm{傾き(微分係数)が等しい}ということである. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{f(x)-f(y)の形の式は交代式}(2つの変数を入れ替えると符号が逆になる式)である. \\[.2zh] 実際,\ xとyを入れ替えると,\ f(y)-f(x)=-\,\{f(x)-f(y)\}\ となる. \\[.2zh] 2変数x,\ yの交代式は,\ 必ず\bm{差x-yを因数にもつ}のであった. \\[.2zh] g(x)=f(x)-f(y)\,とすると,\ g(y)=f(y)-f(y)=0となるからである(因数定理). \\[1zh] f'(\alpha)-f'(\beta)=0として因数分解すると,\ \alpha+\beta\,が求まる.\ 3次関数であるから,\ a\neqq0である.数学の問題を解くときは,\ 最初の時点で最終目標が認識できているかが重要である. \\[.2zh] 中点\text Mが点\text{A,\ B}の位置に依存しない,\ つまり\bm{\textbf Mを\,\alpha,\ \beta\,を含まない形で表す}ことが目標である. \\[.2zh] 中点の座標は足して2で割ると求まるのであった.\ x座標は,\ \alpha+\beta=-\bunsuu{2b}{3a}\,を適用すれば済む. \\\\ y座標のf(\alpha)+f(\beta)は,\ 2変数\,\alpha,\ \beta\,を入れ替えても変わらない式なので\bm{対称式}である. \\[.2zh] すべての対称式は,\ \bm{基本対称式\,\alpha,\ \beta\,のみで表せる}のであった. \\[.2zh] \alpha+\beta=-\bunsuu{2b}{3a}\,を適用すると,\ 中点\text Mが\,\alpha,\ \beta\,を含まない形で表される. \\\\ さらに中点\text Mがy=f(x)上にあることを示す.\ \text Mの座標をy=f(x)に代入して成り立てばよい. \\[.2zh] 実際には,\ x=-\bunsuu{b}{3a}\,をf(x)に代入して計算し,\ y座標\,\bunsuu{2b^3}{27a^2}-\bunsuu{bc}{3a}+d\,と一致することを確認する. $y=f(x)$のグラフを\textcolor{red}{中点Mが原点にくるように平行移動}したグラフを$g(x)$とする. \\ \bm{対称点が原点にくるよう平行移動した関数が奇関数(原点対称)であることを示す}解法が簡潔である. \\[.2zh] x方向に\,\bunsuu{b}{3a},\ y方向に\,-\bunsuu{2b^3}{27a^2}-\bunsuu{bc}{3a}+d平行移動すると,\ 中点\text Mが原点に移る. \\[.8zh] y=f(x)をx方向にp,\ y方向にq平行移動するとき,\ y-q=f(x-p)とするのであった. \\[.2zh] つまり,\ y=f(x-p)+qであり,\ 後で奇関数であることを示すためにこのyをg(x)とおいておく. \\として,\ g(x)=f(x-p)+qを計算する. \\\\ 後はg(x)が奇関数(原点対称)となるための条件\bm{g(-\,x)=-\,g(x)}の成立を確認すればよい. \\[.2zh] この式は,\ \bm{xのときのy座標g(x)と-xのときのy座標g(-\,x)が正負逆}であることを意味する. \\[.2zh] 実際には,\ g(-\,x)を計算し,\ -\,g(x)と一致することを示す. y=f(x)$上の任意の点$(x,\ y)$の点Mに関する対称点を$(X,\ Y)$とすると \phantom{ (1)}\ \ 点$(X,\ Y)$が$y=f(x)$上にあるから,\ \textbf{$\bm{y=f(x)}$は点Mに関して対称であ \bm{y=f(x)上の任意の点を点\textbf Mに関して対称移動した点もy=f(x)上にあることを示す.} \\[.2zh] 素直な解法ではあるが,\ 本解よりも面倒になる. \\[1zh] 「(x,\ y)の点\text Mに関する対称点が(X,\ Y)」は「\bm{(x,\ y)と(X,\ Y)の中点が\textbf M}」と同じことである. \\[.2zh] この条件を満たす点(X,\ Y)が,\ y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d上にあることを示せばよい. \\[.2zh] つまり,\ \bm{Y=aX^3+bX^2+cX+dが成り立つことを示すことが最終目標}である. \\[1zh] (x,\ y)はy=f(x)上の点であるから,\ 当然y=ax^3+bx^2+cx+dが成り立つ. \\[.2zh] これを(X,\ Y)を用いた式に変換する. \\[.2zh] 対称点の条件式をx=,\ y=に変形して代入すると,\ Y=aX^3+bX^2+cX+dが導かれる.  ところで,\ 本解も別解も対称の中心Mの座標が既知であることを前提とする解法}}である. \\[.2zh]  既知でない場合,\ 自分でMの座標を求めなければこの解法をとることができない. \\[.2zh]  (1)のように求めるのは面倒なので,\ 以下を知識としてもっておくことが推奨される. \\\\  3次関数は\textbf{\textcolor{blue}{変曲点に関して対称}}である.\ 変曲点は, \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f”(x)=0}$を満たす点}}である(数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I). \\[.2zh]  $f”(x)$は,\ $f'(x)$をさらに$x$で微分した関数である. \\[.2zh]  \scalebox{.95}[1]{$f'(x)=3ax^2+2bx+c$より$f”(x)=6ax+2b=0$として変曲点の$x$座標$x=-\bunsuu{b}{3a}$を導ける.} \\[.5zh]  変曲点の$y$座標は,\ $f\hspace{-.2zw}\left(-\bunsuu{b}{3a}\right)$を計算して求めればよい.
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