整式の導関数の関数方程式

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(x-1)f'(x)-2f(x)=4,\ \ f(0)=0$を満たす整式$f(x)$を求めよ. \\ 関数方程式(f(x)の等式)を解くのは一般には難しいが,\ \dot{整}\dot{式}という条件があれば楽である. \\[.2zh] f(x)を文字でおいて代入すると,\ \bm{恒等式の係数決定問題}に帰着する. \\[1zh] ただし,\ 次数が不明な場合,\ \bm{最初に両辺の最高次の項を比較して次数を決定する}必要がある. \\[.2zh] ここで,\ 微分公式は\ (x^n)’=nx^{n-1}\ (n:自然数),\ \ (c)’=0\ (c:定数)\ であった. \\[.2zh] よって,\ \bm{定数関数の場合を分ける.}\ 上では後からf(0)=0を考慮したが,\ 以下のようにしてもよい. \\[.2zh] f(x)=cとするとf(0)=0よりf(x)=0であるから,\ 0=2\cdot0+4となり矛盾. \\[1zh] a=0のときx^n\,の項が最高次ではなくなるので,\ a\neqq0とする. \\[.2zh] さて,\ 与式のままでは左辺の次数がわかりづらい. \\[.2zh] 常に(n次式)+(n次式)=(n次式)になるとは限らないからである. \\[.2zh] 実際,\ (2x^2+4x)+(-\,2x^2-3x)=xのような例がある. \\[.2zh] よって,\ 正確には\bm{(n次式)+(n次式)=(n次\dot{以}\dot{下}の式)}である. \\[.2zh] 確実に最高次の項が判断できるよう2f(x)を移項したわけである. \\[1zh] f(x)=ax^n\,のときf'(x)=nax^{n-1}\,である. \\[.2zh] (x-1)f'(x)=xf'(x)-f'(x)の最高次の項はxf'(x)で決まる.\ \ x\cdot nax^{n-1}=anx^n\,である. \\[.2zh] 最高次の項を比較するとa(n-2)=0となるが,\ a\neqq0よりn=2となる. \\[.2zh] 後は2次式を文字でおいて代入後,\ \bm{係数比較}すればよい. \\[.2zh] f(x)=ax^2+bx+cとおいてもよいが,\ あらかじめf(0)=0を考慮しておくと2文字で済む.
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