(x-1)f'(x)-2f(x)=4,\ \ f(0)=0$を満たす整式$f(x)$を求めよ. \\
関数方程式(f(x)の等式)を解くのは一般には難しいが,\ \dot{整}\dot{式}という条件があれば楽である.
f(x)を文字でおいて代入すると,\ 恒等式の係数決定問題}に帰着する.
ただし,\ 次数が不明な場合,\ 最初に両辺の最高次の項を比較して次数を決定する}必要がある.
ここで,\ 微分公式は\ (x^n)’=nx^{n-1}\ (n:自然数),\ \ (c)’=0\ (c:定数)\ であった.
よって,\ 定数関数の場合を分ける.}\ 上では後からf(0)=0を考慮したが,\ 以下のようにしてもよい.
f(x)=cとするとf(0)=0よりf(x)=0であるから,\ 0=2･0+4となり矛盾.
a=0のときx^n\,の項が最高次ではなくなるので,\ a≠0とする.
さて,\ 与式のままでは左辺の次数がわかりづらい.
常に(n次式)+(n次式)=(n次式)になるとは限らないからである.
実際,\ (2x^2+4x)+(-\,2x^2-3x)=xのような例がある.
よって,\ 正確には(n次式)+(n次式)=(n次\dot{以}\dot{下}の式)}である.
確実に最高次の項が判断できるよう2f(x)を移項したわけである.
f(x)=ax^n\,のときf'(x)=nax^{n-1}\,である.
(x-1)f'(x)=xf'(x)-f'(x)の最高次の項はxf'(x)で決まる.\ \ x･ nax^{n-1}=anx^n\,である.
最高次の項を比較するとa(n-2)=0となるが,\ a≠0よりn=2となる.
後は2次式を文字でおいて代入後,\ 係数比較}すればよい.
f(x)=ax^2+bx+cとおいてもよいが,\ あらかじめf(0)=0を考慮しておくと2文字で済む.
