3次関数に引ける接線の本数① 基本と裏技

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以下はGeoGebraによる作図です。

点Pを動かして見てください。本来は点Pが3次関数上と変曲点における接線上にあるときは接線が2本引けるはずですが、0.01の狂いもなく上になければ2本の接線が描かれません。これを手動で合わせるのは無理です。格子点には自動的にスナップしてくれますので、3次関数上と変曲点における接線上でかつ格子点である点にPを合わせてみてください。座標で言えば、極大点(-1,2)、極小点(1,-2)、点(2,2)、点(-2,-2)、点(-1,3)、点(1,-3)です。

接点を\  点Pにおける接線の方程式は { $[l} 接点が不明なので,\ 接点を文字でおいて接線の方程式を作成する. このとき,\ 接点を(a,\ b)などとするのは,\ 文字数が増えるので避ける. 接点(a,\ f(a))におけるf(x)の接線の方程式 y=f'(a)(x-a)+f(a)  さて,\ の意味を確認する.\ ${tは接点のx座標であった.$  つまり,\ $このtの3次方程式を解くと,\ 接点のx座標が求まることになる.$  ここで,\ 3次関数に限っては,}\ ${(接点の個数)=(接線の本数)$が成立する.  よって,\ 接線の本数}を求めるには,\ 接点${t}$の個数}を求めればよい.}  結局,\ この接線の本数問題は,\ 実数解の個数問題(定数分離型)}に帰着}する.  $f(t)=-2t³+3t²-1\ とおくと f'(t)=-6t²+6t=-6t(t-1)$  $f'(t)=0\ とすると,\ t=0,\ 1より,\ 増減表とグラフは以下のようになる.$ の交点の個数が,\ の実数解の個数である.}  また,\ 3次関数では,\ 接点の個数と接線の本数は一致する.} { $[必須の記述}]$} [-.5zh] {3次関数において,\ 接点の個数と接線の本数が一致する根拠}を考えておく. 3次関数f(x)と2点\ x=α,\ β\ で接する直線y=mx+nの存在を仮定する. このとき,\ 整関数では{「接する重解」}なので,\ 次が成立する. 2点\ α,\ β\ で接するならば {f(x)-(mx+n)=a(x-α)²(x-β)²} しかし,\ {(左辺)は3次式,\ (右辺)は4次式であるから矛盾する.} よって,\ 3次関数が,\ 2点で接する接線(二重接線)をもつことはない. ゆえに,\ {3次関数では},\ 接点の個数と接線の本数が1対1に対応する}といえる. 逆にいえば,\ 4次以上の関数では,\ 2点以上で接する接線を持つ可能性がある.  穴埋め式では,\ 引ける接線の本数の構図の知識を利用した裏技が使える.  実は,\ 3次関数に接線を何本引けるかは,\ 図形的に決まっている(下図).}  まず,\ 変曲点における接線を引く.  すると,\ 座標平面が4つの領域に分割}される.}  左右の領域にある点}から引ける接線は 3本  上下の領域にある点}から引ける接線は 1本  3次関数自身及び変曲点における接線上の点}から引ける接線は 2本  ただし,\ 変曲点}から引ける接線は 1本  [上の構図を利用(裏技)]  $kが変化するとき,\ {点(1,\ k)}は,\ 直線x=1上}を動く.}$  よって,\ ${x=1}$上の点がどの領域にあるかで場合分けして答えればよい.  変曲点$(0,\ 0)における接線の方程式は y=-x}$  変曲点における接線$y=-x$と直線$x=1$の交点}は  3次関数自身と直線$x=1$の交点}は 
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