以下はGeoGebraによる作図です。
点Pを動かして見てください。本来は点Pが3次関数上と変曲点における接線上にあるときは接線が2本引けるはずですが、0.01の狂いもなく上になければ2本の接線が描かれません。これを手動で合わせるのは無理です。格子点には自動的にスナップしてくれますので、3次関数上と変曲点における接線上でかつ格子点である点にPを合わせてみてください。座標で言えば、極大点(-1,2)、極小点(1,-2)、点(2,2)、点(-2,-2)、点(-1,3)、点(1,-3)です。
接点を\ \ とおく. \\[.5zh] $y’=3x^2-1$より,\ 点Pにおける接線の方程式は この直線が点$(1,\ k)を通るから{y=k}$の共有点の個数が\maru1の実数解の個数である. {3次関数では接点の個数と接線の本数が一致する 接点が不明な問題では,\ 接点を文字でおいてとりあえず接線の方程式を作成する. \\[.2zh] 接点(a,\ f(a))におけるf(x)の接線の方程式 y=f'(a)(x-a)+f(a) \\[1zh] 点(1,\ k)を通るから,\ これを接線の式に代入すると,\ \maru1が導かれる. \\[.2zh] \maru1の意味合いが重要である.\ kは定数なので,\ \maru1は変数tについての方程式である. \\[.2zh] tは接点のx座標なので,\ \bm{tの3次方程式\maru1は接点のx座標を求める方程式}である. \\[1zh] さて,\ \bm{\uwave{3次関数では}}\ \bm{(接点の個数)=(接線の本数)}が成立する. \\[.2zh] よって,\ \bm{接線の本数を求めるには,\ 接点tの個数,\ つまりは\maru1の実数解の個数を求めればよい.} \\[.2zh] 結局,\ \bm{実数解の個数問題(定数分離型)}に帰着するわけである. \\[1zh] \bm{3次関数において接点の個数と接線の本数が一致することの証明}を示しておく. \\[.2zh] 下線部程度の記述でも十分だと思われるが,\ これを示しておくとより丁寧な解答になる. \\[1zh] 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dと2点\ x=\alpha,\ \beta\ で接する直線y=mx+nの存在を仮定する. \\[.2zh] 整式では\bm{「接する\ \Longleftrightarrow\ 重解」}であることに注意する. \\[.2zh] 2点\ \alpha,\ \beta\ で接するならば,\ \bm{f(x)-(mx+n)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}\ が成立する. \\[.2zh] ところが,\ \bm{左辺は3次式,\ 右辺は4次式となるから,\ これは矛盾である.} \\[.2zh] よって,\ 3次関数と2点で接する接線(二重接線)は存在しない. \\[.2zh] \bm{3次関数では接点の個数と接線の本数が1対1で対応する}といえるわけである. \\[.2zh] 逆にいえば,\ 4次以上の関数では2点以上で接する接線をもつ可能性がある. 実は,\ \textbf{ある点から3次関数に接線を何本引けるかは,\ 図形的に決まっている.} \\[.2zh] 穴埋め式試験では,\ \textbf{\textcolor{blue}{引ける接線の本数の構図}}を覚えておくと\textbf{\textcolor{blue}{裏技}}的な解答が可能になる. \\[.2zh] まず,\ \textbf{\textcolor{red}{変曲点(3次関数の点対称の中心)における接線}}を引く. \\[.2zh] すると,\ 3次関数自身と接線により,\ 座標平面が\textbf{\textcolor{magenta}{4つの領域に分割}}される. \\\\ \textbf{\textcolor{cyan}{左右の領域にある点}}から3次関数に引ける接線は \textbf{\textcolor{cyan}{3本}} \\[.2zh] \textbf{\textcolor{orange}{上下の領域にある点}}から3次関数に引ける接線は \textbf{\textcolor{red}{3次関数上の点及び変曲点における接線上の点}}から3次関数に引ける接線は ただし,\ \textbf{\textcolor{orange}{変曲点}}から3次関数に引ける接線は,\ 変曲点における接線の\ ,3次関数に引ける接線の本数の構図を利用（裏技）}}] \\[1zh] $kが変化するとき,\ 点(1,\ k)は\bm{\textcolor{orange}{直線x=1上}}を動く.$ \\[.2zh] よって,\ 直線$x=1$上の点から3次関数に引ける接線の本数を考えることになる. \\[.2zh] 直線$\bm{x=1}$と引ける接線の本数の構図と照らし合わせる}}と素早く答えられる. \\[.2zh] なお,\ 変曲点の$x$座標は$y”=0$として求められる. \\\\ $y=x^3-x\ より y’=3x^2-1,\ \ y”=6x=0 よって,\ x=0で変曲点をとる.$ \\[.5zh] $x=0$のとき$y’=-\,1$より,\ 変曲点$(0,\ 0)における接線の方程式は \textcolor{red}{y=-\,x}$ \\[1zh] \textcolor{magenta}{変曲点における接線$y=-\,x$と直線$x=1$の交点}は $\textcolor{red}{(1,\ -\,1)}$ \\[.2zh] \textcolor{magenta}{3次関数自身と直線$x=1$の交点}は $\bm{\textcolor{orange}{x=1}}上の\ の部分は & 接線の本数の構図の\textcolor{purple}{1本}の領域にある \\[.2zh] \ \textcolor{red}{y=-\,1,\ 0}の点は & 接線の本数の構図の\textcolor{red}{2本}の領域にある \\[.2zh] \ \textcolor{blue}{-\,の部分は & 接線の本数の構図の\textcolor{blue}{3本}の領域にある
