3次関数の極大値と極小値の和:解と係数の関係を用いる方法と変曲点による裏技

extremum-sum
f(x)=x³-3kx²+3x\ の極大値と極小値の和が20になるとする.$ このとき,\ 定数$kの値を求めよ.$  $$[解と係数の関係を利用] { $$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ { $$}\ よって $判別式\ { $$}\ $f'(x)=3x²-6kx+3=0\ の2つの実数解を\ α,\ β\ とする.$ { $$}\ 解と係数の関係}より $α+β=2k,αβ=1}$ { $$}\ 極大値と極小値の和}は 最初に,\ {3次関数が極値をもつための条件を確認}する. 極値のx座標を\ α,\ β\ とおくと,\ {極大値と極小値の和は対称式となる. よって,\ {基本対称式で表し,\ 解と係数の関係を適用}する. 整理し,\ これが20となるようにkを定めればよい. 極大点と極小点の中点)=(変曲点)を利用(裏技)}$] { $$}\ $f(x)=x³-3kx²+3x より f'(x)=3x²-6kx+3$ { $$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ { $$}\ よって $判別式\変曲点のx座標}]$} 変曲点の$y$座標}は  {3次関数の対称性}より,\ {(極大点と極小点の中点)=(変曲点)}である. 実際には,\ {y座標に関して\ {(極大値)+(極小値)}{2}=(変曲点)\ となることを用いる. 本問は,\ (極大値)+(極小値)=20\ が条件である. よって,\ {(変曲点のy座標)=10}\ となるようにkを定めればよい. 変曲点のx座標は,\ {f”(x)=0}\ として求める.
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