3次関数の極大値と極小値の和:解と係数の関係の利用と変曲点の利用(裏技)

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f'(x)=0で求まるx=1\pm\ruizyoukon{k^2-1}\,をf(x)に代入して極値を求めようとすると地獄絵図になる. \\[.2zh] 極大と極小の対称性を生かし,\ 解と係数の関係を利用するのがスマートな解法である. \\[.2zh]  2次方程式ax^2+bx+c=0の2解を\,\alpha,\ \beta\,とするとき \alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca \\\\ 最初に,\ \bm{3次関数が極値をもつための条件(f'(x)=0のD>0)を確認}しておく. \\[.2zh] 3次関数は極大と極小をセットでもつから,\ f'(x)=0が異なる2個の実数解をもつ必要がある. \\[1zh] f'(x)=0の2つの実数解を\ \alpha,\ \beta\ とおくと,\ それが極大と極小のx座標である. \\[.2zh] \bm{極大値と極小値の和は対称式}(2変数を入れ替えても変わらない式)となる.\\[.2zh] 対称式は\bm{基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,のみで表せる}から,\ \bm{解と係数の関係を適用}できる. (極大点と極小点の中点)=(変曲点)を利用(裏技)}$}}\3次関数f(x)が極値をもつ条件は,\ f'(x)=0が異なる2実数解をもつこと}である.$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $f'(x)=0$の判別式を$D$とすると 変曲点の$y$座標}は \bm{3次関数の対称性}より,\ \bm{(極大点と極小点の中点)=(変曲点)}である. \\[.2zh] 実際には,\ \bm{y座標に関して\ \bunsuu{(極大値)+(極小値)}{2}=(変曲点)}\ となることを用いる. \\[.8zh] 本問は(極大値)+(極小値)=2が条件なので,\ \bm{(変曲点のy座標)=1}\ となるようにkを定める. \\[.2zh] 変曲点のx座標は\bm{f”(x)=0}として求められる.\ f”(x)は,\ f(x)を2回xで微分したものである.
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