f(x)=2x^{n+1}+3x^n\ (n:自然数)$を$(x-1)^2$で割ったときの余りを求めよ.
(2)\ \ 整式$f(x)$を$(x-a)^2$で割ったときの余りを$a,\ f(a),\ f'(a)$を用いて表せ. {整式を$(x-a)^2}$で割ったときの余り \\
(1)\ \ $(x-1)^2$で割ったときの商を$Q(x)$,\ 余りを$px+q$とすると両辺を$x$で微分すると
(2)\ \ $(x-a)^2$で割ったときの商を$Q(x)$,\ 余りを$px+q$とする
(1)を一般化したのが(2)で,\ 実質同じ問題である.
整式の割り算の問題では,\ 恒等式A=BQ+Rを作成するのが基本であった.
(割られる式)=(割る式)×(商)+(余り)}である.
整式の割り算では,\ 必ず余りの次数が割る式の次数よりも低くなる.}
(x-1)^2\,は2次式なので余りは1次以下の式}であり,\ px+qとおける.
余りを求めるには,\ Q(x)が消えるようなxの値を代入すればよい}のであった(剰余定理).
(1)ではx=1,\ (2)ではx=aを代入するとQ(x)が消える.
式が1つできるが,\ 未知数はp,\ qの2つなのでこれだけでは式の数が不足する.
複数の対処法があるが,\ 微分分野なので恒等式は微分しても恒等式}となることを利用する.
積の微分公式と累乗の微分公式(数III})を利用する必要が生じるが,\ 最も自然な解法である.
積の微分公式 \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
累乗の微分公式 [\{f(x)\}^n]’=n\{f(x)\}^{n-1}･ f'(x)}
最後は,\ p,\ qの連立方程式を解いて余りを求めればよい.
整式が$(x-a)^2}$で割り切れるための必要十分条件
整式$f(x)$が$(x-a)^2$で割り切れることは,\ 余り$px+q$が恒等的に0になる}ことである.
(2)より $p=f'(a)=0\ \ かつ\ \ q=f(a)-af'(a)=0$
ゆえに \ \ \ $f(a)=f'(a)=0$
余り$px+q=0$のとき,\ $f(x)=0$は$(x-a)^2Q(x)=0$と表される.
よって,\ $f(a)=f'(a)=0$は,\ 方程式$f(x)=0$が$x=a$を重解にもつ条件でもある.
$整式f(x)が(x-a)^2\,で割り切れる}\ {f(a)=f'(a)=0$
$整式f(x)が(x-a)^2\,で割り切れる}{f(x)=0がx=aを重解にもつ}
px+q=0がxについての恒等式(xの値によらず成り立つ)\p=0,\ q=0}
p=f'(a)=0より q=f(a)-af'(a)=f(a)-a･0=f(a)=0
