3次関数に引ける接線の本数② 存在範囲の図示

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点(a,\ b)から曲線\ y=x³-x\ に異なる3本の接線が引けるとする.$ $このとき,\ 点(a,\ b)の存在範囲を図示せよ.$  接線が点${(a,\ b)}$を通るように立式}すると,\ 解の個数問題}に帰着する.}  ただし,\ 定数が分離できないので,\ 極値の積を考えることになる.  接点を\ P$({t,\ t³-t)$\ とおく.\ また,\ $y’=3x²-1\ である.$  点Pにおける接線の方程式は  この直線が$点(a,\ b)を通るから  ここで,\ 3次関数では,\ 接点の個数と接線の本数は一致する.}  ゆえに,\ が異なる3つの実数解をもてば,\ 問題の条件を満たす.}  $y=f(t)がt軸と異なる3点で交わる条件は$ $ {求める領域は,\ 上図の斜線部分.\ 境界線は含まない.}$ 3次関数\ y=f(t)\ がt軸と異なる3点で交わる条件を考える. {「極値をもつ かつ 極大値と極小値の一方が正で他方が負」}である. 極値をもつ条件は,\ f'(t)=0\ が異なる2つの実数解をもつことである. よって,\ f'(t)=0\ の2解\ t=0,\ a\ が一致するとき,\ f(t)は極値をもたない. ゆえに,\ {極値をもつ条件は,\ a0}\ となる. このとき,\ 極大値と極小値の一方が正で他方が負であれば,\ t軸と3点で交わる. 「一方が正で一方が負」という条件は,\ {「積が負」}という条件と考える. 結局,\ {(極値の積)=f(0)f(a)\ が条件となる. 後は領域図示の問題である. 間違っても,\ (a+b)(-a³+a+b)を展開してはいけない. {1つの座標平面に複数のグラフを描くとき,\ 最初に互いの位置関係を調べる.} 連立して解くことで,\ 交点や接点の存在,\ さらにその位置が求まる. 本問では,\ 3次関数\ b=a³-a\ と\ 直線\ b=-a\ の位置関係を調べる必要がある. b=a³-a\ と\ b=-a\ を連立すると a³-a=-a より a³=0 よって,\ 3重解\ a=0\ をもつから,\ {a=0で接し,\ それ以外の共有点はもたない.} また,\ 本問では,\ b=a³-a\ が容易に因数分解できる(常に意識しておくこと). よって,\ 極値を求めるより,\ a軸との交点を求めて図示するとよい. b=a³-a=a(a²-1)=a(a+1)(a-1)\ より,\ a=-1,\ 0,\ 1でa軸と交わる. これらを全て確認し,\ 主要な点をとった後で,\ 曲線を描く. a0\ より,\ 原点を含まないことを白丸にしてアピールしておくのもよい. 最後までかつと考えて図示したが,\ 実はだけで十分である. よって,\ a0である.\ があれば,\ 自動的にが満たされるということである. ここまで考えて条件を1つにする必要もないので,\ かつとして図示した. {引ける接線の本数の構図}を覚えている人にとっては当然の結果であろう.
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