3次関数のグラフの分類(f'(x)のグラフとf(x)のグラフの関係)

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前項では,\ 増減表を作成してグラフを描く手順を学習した. \\[.2zh]  しかし,\ {整式の関数の場合,\ 増減表を作成してグラフを描くのは実は本質的ではない.} \\[.2zh]  本項では,{$\bm{f'(x)}$のグラフと$\bm{f(x)}$のグラフの関係}}を学習する. \\[.2zh]  これにより,{3次関数のグラフの概形が本質的に3通りしかない}}ことがわかる. \\\\\\  f'(x)の正負とf(x)の増減の関係}}単調に増加}定数(x軸と平行)}}単調に減少}}  一般に,\ $\bm{\textcolor{cyan}{f'(x)の正負パターンによってf(x)の概形が決まる.}}$ \\[.2zh]  よって,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f'(x)}$のグラフを元に$\bm{f(x)}$\ のグラフの概形を描く}}ことができる. \\\\  以下,\ $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ とする.\ このとき,\ f'(x)=3ax^2+2bx+c$\ である. \\\\  {f(x)が3次関数ならば,\ f'(x)は2次関数}}である.$ \\[.2zh]  2次関数$\bm{f'(x)\ (a>0)}$のグラフは,\ 3通りの正負パターンしかない.}} \\[.2zh]  これは,3次関数$\bm{f(x)}$の概形も本質的に3通りしかない}}ことを意味する. \\[1zh]  例として,\ $f'(x)=0\ (a>0)$が2つの実数解をもつ場合を考える. \\[.2zh]  このとき,\ $f'(x)のグラフの正負パターンは極大と極小をもつような3次関数}}となるわけである.  $f'(x)=0\ (a=0)$が実数解をもたないとき,\ $f'(x)$の正負パターンは\ 常に正}}\ となる.$ \\[.2zh]  これに対応し,\ $f(x)のグラフは\ \bm{\textcolor{blue}{常に増加}}$となる(下表右列). \\\\  $a<0$のとき,\ $f'(x)$の正負パターンが逆になるから,\ $f(x)$の増減も逆になる. \\[.2zh]  結局,\ \textbf{\textcolor{blue}{3次関数の概形は6通りに分類される.}} \\[.2zh] f'(x)=3ax^2+2bx+c=0\ の判別式をD}}としてまとめると,\ 以下となる.$ \\\\ f'(x)は軸に関して対称なので,\ これに対応してf(x)は\bm{x=-\bunsuu{b}{3a}\,の\dot{点}に関して対称}になる. \\[.8zh] この点を\bm{変曲点}という(数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}).\ 文字通り曲がりが変わる点であり,\ 上に凸と下に凸が入れ替わる. \\[.2zh] 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}では,\ f''(x)=0\ (f(x)をxで2回微分)として変曲点を求める. \\[.2zh] f'(x)=3ax^2+2bx+cよりf''(x)=6ax+2b=0であるから,\ x=-\bunsuu{b}{3a}\,である.
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