前項では,\ 増減表を作成してグラフを描く手順を学習した. \\[.2zh] しかし,\ {整式の関数の場合,\ 増減表を作成してグラフを描くのは実は本質的ではない.} \\[.2zh] 本項では,{$\bm{f'(x)}$のグラフと$\bm{f(x)}$のグラフの関係}}を学習する. \\[.2zh] これにより,{3次関数のグラフの概形が本質的に3通りしかない}}ことがわかる. \\\\\\ f'(x)の正負とf(x)の増減の関係}}単調に増加}定数(x軸と平行)}}単調に減少}} 一般に,\ $\bm{\textcolor{cyan}{f'(x)の正負パターンによってf(x)の概形が決まる.}}$ \\[.2zh] よって,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f'(x)}$のグラフを元に$\bm{f(x)}$\ のグラフの概形を描く}}ことができる. \\\\ 以下,\ $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ とする.\ このとき,\ f'(x)=3ax^2+2bx+c$\ である. \\\\ {f(x)が3次関数ならば,\ f'(x)は2次関数}}である.$ \\[.2zh] 2次関数$\bm{f'(x)\ (a>0)}$のグラフは,\ 3通りの正負パターンしかない.}} \\[.2zh] これは,3次関数$\bm{f(x)}$の概形も本質的に3通りしかない}}ことを意味する. \\[1zh] 例として,\ $f'(x)=0\ (a>0)$が2つの実数解をもつ場合を考える. \\[.2zh] このとき,\ $f'(x)のグラフの正負パターンは極大と極小をもつような3次関数}}となるわけである. $f'(x)=0\ (a=0)$が実数解をもたないとき,\ $f'(x)$の正負パターンは\ 常に正}}\ となる.$ \\[.2zh] これに対応し,\ $f(x)のグラフは\ \bm{\textcolor{blue}{常に増加}}$となる(下表右列). \\\\ $a<0$のとき,\ $f'(x)$の正負パターンが逆になるから,\ $f(x)$の増減も逆になる. \\[.2zh]
結局,\ \textbf{\textcolor{blue}{3次関数の概形は6通りに分類される.}} \\[.2zh]
f'(x)=3ax^2+2bx+c=0\ の判別式をD}}としてまとめると,\ 以下となる.$ \\\\
f'(x)は軸に関して対称なので,\ これに対応してf(x)は\bm{x=-\bunsuu{b}{3a}\,の\dot{点}に関して対称}になる. \\[.8zh]
この点を\bm{変曲点}という(数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}).\ 文字通り曲がりが変わる点であり,\ 上に凸と下に凸が入れ替わる. \\[.2zh]
数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}では,\ f''(x)=0\ (f(x)をxで2回微分)として変曲点を求める. \\[.2zh]
f'(x)=3ax^2+2bx+cよりf''(x)=6ax+2b=0であるから,\ x=-\bunsuu{b}{3a}\,である.
