3次関数のグラフの分類(f'(x)のグラフとf(x)のグラフの関係)

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f(x)=ax³+bx²+cx+d\ とすると,\ f'(x)=3ax²+2bx+c$\ である.  以下,\ ${f'(x)=3ax²+2bx+c=0\ における判別式をDとする.$ \ の区間 f(x)は単調増加} f'(x)=0}\ の区間 f(x)は定数(x軸と平行)} の区間 f(x)は単調減少}  一般に,\ ${f(x)の概形は,\ f'(x)の正負パターンで決まる.$  よって,\ $f'(x)の正負を調べて増減表を作成し,\ f(x)のグラフを描く.$  一方,\ ${f'(x)}$のグラフを元に${f(x)}$\ のグラフの概形を描くこともできる.  ${f(x)が3次関数ならば,\ f'(x)は2次関数である.$  2次関数${f'(x)\)}$のグラフは,\ 3通りの正負パターンしかない.  これは,\ 3次関数${f(x)}$の概形も3通りしかないことを意味する.  例として,\ $$で,\ $f'(x)=0$が2つの実数解を持つ場合を考える.  このとき,\ $f'(x)のグラフは,\ {正}\ →\ 0}\ →\ 負}\ →\ 0}\ →\ 正\ となる.$  ならば,\ $f(x)は\ {増加}\ →\ 平行}\ →\ 減少}\ →\ 平行}\ →\ 増加$となるはずである.  結局,\ の場合も含め,\ 3次関数は以下の6パターンに分類される.  なお,\ ${f'(x)の正負パターンは,\ f'(x)=0の判別式Dで分類される.$ 2実数解{重解\ 実数解なし}単調に減少} 単調に減少}
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