f(x)=8x^3-6x-1$について,\ 次の問いに答えよ.
(1)\ \ 方程式$f(x)=0$が異なる3個の実数解をもつことを示せ.
(2)\ \ 方程式$f(x)=0$の解を$x=\cosθ\ (0≦θ≦π)$とおくとき,\ $θ$の値を求めよ.
(3)\ \ $-45<\cos79π<-34$が成り立つことを示せ.
(4)\ \ $\cos19π\cos59π\cos79π$の値を求めよ. \\
\cos20°}$を解にもつ3次方程式 \\
(1)\ \ $f'(x)=24x^2-6=6(2x+1)(2x-1)=0$\ とすると $x=±12$
$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる3個の共有点をもつ.
よって,\ $f(x)=0}$は異なる3個の実数解をもつ.} \\
$\left[l}
3次方程式の実数解の個数は,\ グラフを用いて図形的に考えるのであった.
3次関数y=f(x)のグラフが直線y=0\ (x軸)と異なる3個の共有点をもつことを示せばよい.
(2)\ \ $f(\cosθ)=8\cos^3θ-6\cosθ-1=0$
$\cos3θ=4\cos^3θ-3\cosθ}$\ より $2\cos3θ-1=0}$
よって $\cos3θ=12$
$0≦3θ≦3π}$より $3θ=1}{3}π,\ 53π,\ 73π$ \\
∴\ \ θ=19π,\ 59π,\ 79π}$} \\[-12zh]
\cos\,の3倍角の公式の暗記が前提となる.\ ゴロ合わせで覚えておきたい.
高三の ヨーコ参上\ まだ\ 未婚 \\
\cos3θ=4\cos^3θ \ \ - \ 3\cosθ
3倍角の公式を逆に用いて8\cos^3θ-6\cosθ=2(4\cos^3θ-3\cosθ)=2\cos3θ\,とする.
三角方程式になるので,\ 0≦θ≦π\,より0≦3θ≦3π\,に注意して \cos が\,12\,となる\,θ\,を求めればよい.
ちなみに,\ 19π=20°,\ \ 59π=100°,\ \ 79π=140°\,である.
背景知識がなければ3倍角の公式の利用などを思いつくのは難しいだろう.
20°\,を解にもつ方程式を作成する}ことを考える.\ \ θ=20°\,とおくと3θ=60°\, である.
このとき,\ \cos3θ=12\,より,\ 3倍角の公式を適用すると4\cos^3θ-3\cosθ=12となる.
これの分母をはらって整理した8\cos^3θ-6\cosθ-1=0は,\ 当然\,θ=20°\,を解にもつ.
問題の方程式はこれの\,\cosθ\,をxとおいたものであり,\ ここで示した過程を逆に辿ると解答になる.
ちなみに,\ 同様に作成できる\,\cos40°\,の方程式も出題されうる.\ \ θ=40°\,とおくと3θ=120°\,である.
\cos3θ=-12\,より,\ 8\cos^3θ-6\cosθ+1=0が導かれる.
これの解は,\ θ=29π\ (=40°),\ \ 49π\ (=80°),\ 89π\ (=160°)\ である.
(3)\ \ $0<19π<59π<79π<π$より $\cos79π<\cos59π<\cos19π}$
よって,\ $8x^3-6x-1=0$の異なる3個の実数解のうち最小の解が$x=\cos79π$である.
$x≦-12$のとき,\ $y=8x^3-6x-1$は単調に増加する.
また $f-.2zw}-45=-37}{125}<0,\ \ f-.2zw}-34=18>0}$ \\
∴\ \ -45<\cos79π<-34}$ \\[-8zh]
\cosθ\,を解にもつ方程式を作成することの目的の1つは,\ 近似値を求める}ことにある.
0≦θ≦π\,のとき,\ θ\,が大きくなるほど\,\cosθ\,は小さくなる.
よって,\ \cos79π<\cos59π<\cos19π}\,であり,\ 互いに異なる値の実数である.
8x^3-6x-1=0は異なる3個の実数解をもつのであるから,\ これらがその3個の実数解である.
ゆえに,\ y=8x^3-6x-1とx軸の共有点のうち,\ x座標が最小の点の座標が\cos79π,\ 0である.
さて,\ x≦-12\,のとき,\ y=8x^3-6x-1は単調に増加する.
よって,\ -45<\cos79π<-34\,を示すには,\ f-.2zw}-45<0\ かつ\ f-.2zw}-34>0}を示せばよい.
本問から,\ -\,0.8=-45<\cos79π<-34=-\,0.75\ であることがわかる.
同様にf(x)の正負を調べていくことにより,\ いくらでも近似精度を高めることができる.
例えば,\ f(-\,0.77)<0,\ f(-\,0.76)>0より,\ -\,0.77<\cos79π<-\,0.76であることがわかる.
(4)\ \ $8x^3-6x-1=0$の異なる3個の実数解が$x=\cos19π,\ \cos59π,\ \cos79π$である. \\
∴\ \ 3次方程式の解と係数の関係}より\ \ \cos19π\cos59π\cos79π=18}$}
3次方程式の解の和や積の値は,\ 3次方程式の解と係数の関係によって求められる.
ax^3+bx^2+cx+d=0の3解を\,α,\ β,\ γ\,とする.
解と係数の関係は α+β+γ=- ba,\ \ αβ+βγ+γα= ca,\ \ αβγ=- da
