cos20°を解にもつ3次方程式 8x³-6x-1=0

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differential-formula
f(x)=8x^3-6x-1$について,\ 次の問いに答えよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 方程式$f(x)=0$が異なる3個の実数解をもつことを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 方程式$f(x)=0$の解を$x=\cos\theta\ (0\leqq\theta\leqq\pi)$とおくとき,\ $\theta$の値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $-\bunsuu45<\cos\bunsuu79\pi<-\bunsuu34$が成り立つことを示せ. \\[1.3zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $\cos\bunsuu19\pi\cos\bunsuu59\pi\cos\bunsuu79\pi$の値を求めよ. \\ \bm{\cos20\Deg}$を解にもつ3次方程式}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ $f'(x)=24x^2-6=6(2x+1)(2x-1)=0$\ とすると $x=\pm\bunsuu12$ \\\\ \phantom{ (1)}\ \ $y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる3個の共有点をもつ. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ \textbf{$\bm{f(x)=0}$は異なる3個の実数解をもつ.} \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 3次方程式の実数解の個数は,\ グラフを用いて図形的に考えるのであった. \\[.2zh] 3次関数y=f(x)のグラフが直線y=0\ (x軸)と異なる3個の共有点をもつことを示せばよい.  (2)\ \ $f(\cos\theta)=8\cos^3\theta-6\cos\theta-1=0$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{forestgreen}{\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta}$\ より $\textcolor{red}{2\cos3\theta-1=0}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\cos3\theta=\bunsuu12$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{0\leqq3\theta\leqq3\pi}$より $3\theta=\bunsuu{1}{3}\pi,\ \bunsuu53\pi,\ \bunsuu73\pi$ \\\\[.5zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{\theta=\bunsuu19\pi,\ \bunsuu59\pi,\ \bunsuu79\pi}$} \\[-12zh] \cos\,の3倍角の公式の暗記が前提となる.\ ゴロ合わせで覚えておきたい. \\[.2zh]  \text{{\small 高三の ヨーコ参上\ まだ\ 未婚}} \\  \cos3\theta=4\cos^3\theta \ \ - \ 3\cos\theta \\[1zh] 3倍角の公式を逆に用いて8\cos^3\theta-6\cos\theta=2(4\cos^3\theta-3\cos\theta)=2\cos3\theta\,とする. \\[.2zh] 三角方程式になるので,\ 0\leqq\theta\leqq\pi\,より0\leqq3\theta\leqq3\pi\,に注意して \cos が\,\bunsuu12\,となる\,\theta\,を求めればよい. \\[.5zh] ちなみに,\ \bunsuu19\pi=20\Deg,\ \ \bunsuu59\pi=100\Deg,\ \ \bunsuu79\pi=140\Deg\,である. \\\\ 背景知識がなければ3倍角の公式の利用などを思いつくのは難しいだろう. \\[.2zh] \bm{20\Deg\,を解にもつ方程式を作成する}ことを考える.\ \ \theta=20\Deg\,とおくと3\theta=60\Deg\, である. \\[.2zh] このとき,\ \cos3\theta=\bunsuu12\,より,\ 3倍角の公式を適用すると4\cos^3\theta-3\cos\theta=\bunsuu12となる. \\[.6zh] これの分母をはらって整理した8\cos^3\theta-6\cos\theta-1=0は,\ 当然\,\theta=20\Deg\,を解にもつ. \\[.2zh] 問題の方程式はこれの\,\cos\theta\,をxとおいたものであり,\ ここで示した過程を逆に辿ると解答になる. \\[1zh] ちなみに,\ 同様に作成できる\,\cos40\Deg\,の方程式も出題されうる.\ \ \theta=40\Deg\,とおくと3\theta=120\Deg\,である. \\[.2zh] \cos3\theta=-\bunsuu12\,より,\ 8\cos^3\theta-6\cos\theta+1=0が導かれる. \\[.6zh] これの解は,\ \theta=\bunsuu29\pi\ (=40\Deg),\ \ \bunsuu49\pi\ (=80\Deg),\ \bunsuu89\pi\ (=160\Deg)\ である.  (3)\ \ $0<\bunsuu19\pi<\bunsuu59\pi<\bunsuu79\pi<\pi$より $\textcolor{cyan}{\cos\bunsuu79\pi<\cos\bunsuu59\pi<\cos\bunsuu19\pi}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $8x^3-6x-1=0$の異なる3個の実数解のうち最小の解が$x=\cos\bunsuu79\pi$である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $x\leqq-\bunsuu12$のとき,\ $y=8x^3-6x-1$は単調に増加する. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ また $\textcolor{red}{f\hspace{-.2zw}\left(-\bunsuu45\right)=-\bunsuu{37}{125}<0,\ \ f\hspace{-.2zw}\left(-\bunsuu34\right)=\bunsuu18>0}$ \\\\[.5zh]      $\therefore\ \ \bm{-\bunsuu45<\cos\bunsuu79\pi<-\bunsuu34}$ \\[-8zh] \cos\theta\,を解にもつ方程式を作成することの目的の1つは,\ \bm{近似値を求める}ことにある. \\[.2zh] 0\leqq\theta\leqq\pi\,のとき,\ \theta\,が大きくなるほど\,\cos\theta\,は小さくなる. \\[.2zh] よって,\ \bm{\cos\bunsuu79\pi<\cos\bunsuu59\pi<\cos\bunsuu19\pi}\,であり,\ 互いに異なる値の実数である. \\[.8zh] 8x^3-6x-1=0は異なる3個の実数解をもつのであるから,\ これらがその3個の実数解である. \\[.2zh] ゆえに,\ y=8x^3-6x-1とx軸の共有点のうち,\ x座標が最小の点の座標が\left(\cos\bunsuu79\pi,\ 0\right)である. \\\\ さて,\ x\leqq-\bunsuu12\,のとき,\ y=8x^3-6x-1は単調に増加する. \\[.8zh] よって,\ -\bunsuu45<\cos\bunsuu79\pi<-\bunsuu34\,を示すには,\ \bm{f\hspace{-.2zw}\left(-\bunsuu45\right)<0\ かつ\ f\hspace{-.2zw}\left(-\bunsuu34\right)>0}を示せばよい. \\\\ 本問から,\ -\,0.8=-\bunsuu45<\cos\bunsuu79\pi<-\bunsuu34=-\,0.75\ であることがわかる. \\[.8zh] 同様にf(x)の正負を調べていくことにより,\ いくらでも近似精度を高めることができる. \\[.2zh] 例えば,\ f(-\,0.77)<0,\ f(-\,0.76)>0より,\ -\,0.77<\cos\bunsuu79\pi<-\,0.76であることがわかる.  (4)\ \ $8x^3-6x-1=0$の異なる3個の実数解が$x=\cos\bunsuu19\pi,\ \cos\bunsuu59\pi,\ \cos\bunsuu79\pi$である. \\\\[.5zh] \centerline{$\therefore\ \ \textcolor{red}{3次方程式の解と係数の関係}より\ \ \bm{\cos\bunsuu19\pi\cos\bunsuu59\pi\cos\bunsuu79\pi=\bunsuu18}$} 3次方程式の解の和や積の値は,\ 3次方程式の解と係数の関係によって求められる. \\[.2zh] ax^3+bx^2+cx+d=0の3解を\,\alpha,\ \beta,\ \gamma\,とする. \\[.2zh] 解と係数の関係は \alpha+\beta+\gamma=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\bunsuu ca,\ \ \alpha\beta\gamma=-\bunsuu da
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