放物線の直交する2本の接線の交点の軌跡(放物線の準線)

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放物線\ $y=x^2$\ 上の異なる2点A,\ Bにおける2本の接線が直交する. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ 2本の接線の交点の軌跡を求めよ. \\ 放物線の直交する2本の接線の交点の軌跡   点Aにおける接線の方程式は   点Bにおける接線の方程式は    この$2本の接線が直交するから の異なる2解}である.$ \\[.5zh]   判別式を$D$とすると   これは,\ \textcolor{red}{すべての実数$X$について成立}する. \\\\  求める軌跡は\ \ \bm{直線\ y=-\bunsuu14}$} 接点が不明なので,\ 2つの接点を文字でおき,\ 接線の方程式を求める. \\[.2zh] 点(\alpha,\ \alpha^2)における接線の傾きは2\alpha\,なので,\ 接線は y=2\alpha(x-\alpha)+\alpha^2=2\alpha x-\alpha^2 \\[.2zh] 点(\beta,\ \beta^2)における接線は,\ y=2\alpha x-\alpha^2\,の\,\alpha\,を\,\beta\,に変えればよい. \\[1zh] 2直線\ y=m_1x+n_1とy=m_2x+n_2\ が直交する条件は \bm{m_1m_2=-\,1} \\[1zh] 2本の接線の交点の座標は,\ 当然連立方程式を解いて求める. \る接線の交点は  これはよく見かけるので暗記しておくと問題の見通しがよくなる. \\[.2zh] 特に,\ \bm{x座標がaの値によらず,\ 常に\ \alpha\ と\ \beta\ の中央になる}ことは重要である. \\[1zh] 軌跡を求めることは,\ \bm{軌跡上の動点(x,\ y)が満たすべき関係式を求めること}であった. \\[.2zh] (x,\ y)でもよいが,\ 軌跡上の動点であることを強く意識するため,\ 改めて(X,\ Y)とおいた. \\[.2zh] \alpha,\ \beta\ が直交条件を満たしながら変化するとき,\ 交点は(X,\ この点(X,\ Y)の集合が求める軌跡である. \\[.2zh] まず,\ Yは-\bunsuu14\,で確定している.\ つまり,\ \bm{軌跡上の動点(交点)は直線y=-\bunsuu14\,上にある.} \\[.8zh] 後はx座標である.\ \bm{直交条件\ \alpha\beta=-\bunsuu14\ のもとで,\ X=\bunsuu{\alpha+\beta}{2}\,のとりうる値の範囲を考える.} \\[.8zh] 満たす2実数\ \alpha,\ \beta\ が存在するようなXのとりうる値の範囲を求める.} \\[1.8zh] 本問の場合は\ \alpha\neqq\beta\ であるから,\ \bm{異なる2実数\ \alpha,\ \beta\ の存在条件}に帰着する. \\[.2zh] そして,\ \bm{基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,をなす2実数存在条件は,\ 2次方程式を作成して求める}のであった. \\[1zh] この2次方程式が異なる2実数解\ \alpha,\ \beta\ をもつ条件は,\ D>0である. \\[.2zh] こうして,\ 条件を満たす(接線が直交する\ \alpha,\ \beta\ が存在するような)\,Xの範囲が求まる. \\[.2zh] 本問の場合,\ \bm{Xの値によらずD>0なのでXの範囲は限定されず,\ 求める軌跡は直線全てとなる.} \\[1zh] 一般に,\ 放物線y=\bunsuu{1}{4p}x^2\,の2本の直交する接線の交点の軌跡は直線y=-\,pとなる. \\[.8zh] 本問はp=\bunsuu14\,の場合である.\ この知識があれば,\ 問題を見た時点で答えがわかる. \\[.8zh] 直線y=-\,pは放物線の\bm{準線}と呼ばれるもので,\ 詳しくは数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}:2次曲線で学習する. \,微分を使わないので微分を未学習でも可能\,}] \\[1zh]   軌跡上の動点を$\textcolor{red}{(X,\ Y)}$とおく. $y=x^2$の接線が$x$軸に垂直になることはない.}}} \\[.2zh]   よって,\ 傾きを$m$とすると,\ 点$(X,\ Y)$を通る直線の方程式は   2次関数では,\ 接線が異なると接線の傾きも異なる. \\[.2zh]   さらに,\ $m$の2次方程式\maru1が2つの異なる実数解をもつ条件は,\ 判別式を$D_2$とする   このとき,\ \maru1の異なる2つの実数解を$m_1,\ m_2$とする.   解と係数の関係 2本の接線は直交するから    このとき,\ {すべての実数Xについて成立}する.$ 軌跡の問題の基本に従い,\ 軌跡上の動点を(X,\ Y)とおく. \\[.2zh] まず,\ \bm{この点(X,\ Y)を通る直線が放物線と接する条件を考える.} \\[.2zh] 本解では放物線から接線を導いたが,\ 先に直線の式を作り,\ 放物線と接するようにするわけである. \\[1zh] 直線をy=ax+bの形(基本形)で設定する場合,\ x軸と垂直になる可能性の吟味を要する(下線部). \\[.2zh] \bm{x軸と垂直な直線はy=ax+bの形では表せない}からである. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線は \bm{y=m(x-x_1)+y_1} \\[1zh] 放物線と直線が接する条件は,\ 連立してD=0である. \\[.2zh] 直線の傾きmについての2次方程式\maru1が導かれる. \\[.2zh] 2次関数に限っては,\ 傾きが同じである異なる2本の接線は存在しない. \\[.2zh] よって,\ 題意を満たすには,\ \bm{\maru1は2つの異なる実数解をもたなければならない.} \\[.2zh] ゆえに,\ さらに\bm{\maru1の判別式D_2>0}という条件を立てることになる. \\[.2zh] こうして,\ \bm{2本の接線の存在条件が点(X,\ Y)についての条件に変換される.} \\[1zh] さらに,\ 2本の接線の直交条件を点(X,\ Y)についての条件に変換しなければならない. \\[.2zh] \bm{解と係数の関係}より,\ 2本の接線の傾きの積が4Yであり,\ これが-1であることが直交条件である. \\[.2zh]  解と係数の関係 ax^2+bx+c=0の2解を\,\alpha,\ \beta\,とすると \alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca \\[1.5zh] \bm{Y
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