2曲線の共通接線の方程式②:接点が等しい(2曲線が接する条件)

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differential-formula
2曲線\ y=x^3-x,\ y=x^2+a\ が共有点をもち,\ その点で接している.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}そのときの定数$aの値と,\ その接点における共通接線の方程式を求めよ.$ \\ 2曲線の共通接線の方程式\maru2(2曲線が接する条件)}}}} \\\\[.5zh]   \textbf{\textcolor{magenta}{2曲線$\bm{y=f(x),\ y=g(x)}$が\underline{同一の接点}($\bm{x=p}$)において共通接線をもつ.}} \\[.2zh]   このとき,\ \textbf{「\textcolor{blue}{2曲線が$\bm{x=p}$で接する}」}という. \\[1zh]   その条件はf(p)=g(p)接点のy座標が一致}) f'(p)=g'(p){接線の傾きが一致}) y=f(x)のx=pにおける接線の方程式は \\[.2zh]  y=f'(p)(x-p)+f(p)   よって y=f'(p)x-pf'(p)+f(p) \\[1zh] y=g(x)のx=pにおける接線の方程式は \\[.2zh]  y=g'(p)(x-p)+g(p)   \hspace{.2zw}よって y=g'(p)x-pg'(p)+g(p) \\[1zh] この2つの接線の方程式が一致するための条件は,\ 係数比較して \\[.2zh]      f'(p)=g'(p) かつ -pf'(p)+f(p)=-pg'(p)+g(p) \\[.2zh] すなわち f'(p)=g'(p) かつ f(p)=g(p)   この2曲線が$\textcolor{red}{x=p}$で接するための条件は \\[.5zh] 参考までに図示してみると,\ 下図のようになる. \\[.2zh] y=x^2+aは頂点(0,\ a)より,\ 頂点がy軸上を動く2次関数である.
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