2曲線\ y=x^3-x,\ y=x^2+a\ が共有点をもち,\ その点で接している.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}そのときの定数$aの値と,\ その接点における共通接線の方程式を求めよ.$ \\ 2曲線の共通接線の方程式\maru2（2曲線が接する条件）}}}} \\\\[.5zh] \textbf{\textcolor{magenta}{2曲線$\bm{y=f(x),\ y=g(x)}$が\underline{同一の接点}($\bm{x=p}$)において共通接線をもつ.}} \\[.2zh] このとき,\ \textbf{「\textcolor{blue}{2曲線が$\bm{x=p}$で接する}」}という. \\[1zh] その条件はf(p)=g(p)接点のy座標が一致}) f'(p)=g'(p){接線の傾きが一致}) y=f(x)のx=pにおける接線の方程式は \\[.2zh] y=f'(p)(x-p)+f(p) よって y=f'(p)x-pf'(p)+f(p) \\[1zh] y=g(x)のx=pにおける接線の方程式は \\[.2zh] y=g'(p)(x-p)+g(p) \hspace{.2zw}よって y=g'(p)x-pg'(p)+g(p) \\[1zh] この2つの接線の方程式が一致するための条件は,\ 係数比較して \\[.2zh] f'(p)=g'(p) かつ -pf'(p)+f(p)=-pg'(p)+g(p) \\[.2zh] すなわち f'(p)=g'(p) かつ f(p)=g(p) この2曲線が$\textcolor{red}{x=p}$で接するための条件は \\[.5zh] 参考までに図示してみると,\ 下図のようになる. \\[.2zh] y=x^2+aは頂点(0,\ a)より,\ 頂点がy軸上を動く2次関数である.
