a$と異なる値をとりながら}\,限りなく$a$に近づくとき,\ $f(x)$が一定値$A$に近づくとする.
この$A$を$x↔ a$のときの$f(x)$の極限値といい,\ 次のように表す.
極限を本格的に学習するのは数III}である.\ 数II}では微分に必要となる極限の超基礎のみ取り扱う.
極限は様々な落とし穴がある厄介な分野だが,\ 数II}の範囲ではあまり気にする必要はない.
波線部の意味合いを理解するため,\ f(x)=
2x & (x≠1)
1 & (x=1)
のときのlim{x\to1}f(x)を考える.\
よくある誤り}が,\ lim{x\to1}f(x)=f(1)=1である.
lim{x\to1}f(x)は,\ xが\,\uwave{1と異なる値をとりながら}\,限りなく1に近づくときのf(x)の値.
よって,\ x=1のときを考えてはならない.\ x≠1のときでlim{x\to1}f(x)が決まる.
x≠1のときf(x)=2xであるから,\ lim{x\to1}f(x)=lim{x\to1}2x=2\ となる.
グラフを見ると,\ x↔ 1のときf(x)が2に近づいていくことがわかるだろう.
lim{x\to 1}f(x)は「x↔ 1のときにf(x)が近づく\dot{目}\dot{標」であり,\ f(1)とは限らないのである.
(1)\ \ 途中で途切れた(不連続な)関数でもない限り,\ lim{x\to a}f(x)=f(a)が成り立つ.
\ \ よって,\ x=1を代入するだけである.
(2)\ \ 素直にx=1を代入してみると\,00\,となる.\ この形を不定形}という.
\ \ 文字通り,\ そのままでは極限値が定まらない形である.
\ \ 不定形になる場合,\ 不定形にならない形に変形してから極限にとばす}必要がある.
\ \ 因数分解すると0となる原因の因数x-1が約分でき,\ 不定形ではなくなる.
\ \ x=1を代入して0になるならばx-1を因数にもつ(因数定理)ので,\ 必然的に約分できる.
(3)\ \ 00\,の不定形となる.\ \ 公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)を用いて因数分解すると約分できる.
(4)\ \ 13-1}{x+3{x}\,とみると\,00\,の不定形となる.\ 括弧内を通分すると約分できる.
(5)\ \ 00\,の不定形となる.\ 根号がある場合は有理化}すると約分できる.
\ \ 根号が分子にあるが,\ 分母√ a-√ b\,の有理化と同じく分母分子に√ a+√ b\,を掛ければよい.
u{x^2+ax+b}{x-2}=1$を満たす定数$a,\ b$の値を求めよ. \\
}{極限値から関数の係数決定 \\
必要条件}である. \
詳しくは数III}の範囲だが,\ 次が成立する.
lim{x\to a}f(x)}{g(x)}=A\ かつ\ lim{x\to a}g(x)=0\ ⇒\ lim{x\to a}f(x)=0}
lim{x\to a}f(x)}{g(x)}\,の極限値が存在し,\ かつ分母が0に収束するならば,\ 分子も0に収束することを意味する.
\Longleftarrow は成り立たないことに注意する.\ つまり,\ lim{x\to a}f(x)=0}は必要条件にすぎない.
必要条件を代入し,\ 実際に極限値が1となるようにa,\ bを定めると必要十分条件となる.
